Combinatoria - Una ligera generalización no demostrada de una identidad combinatoria conocida

Question

Una de las identidades combinatorias más básicas y famosas es que

$$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n \; \forall n \in \mathbb{Z^+} \tag 1$$

Hay varias formas de hacer generalizaciones de $(1)$ una es esa:

Reescritura $(1)$ : $$\sum_{a_1,a_2 \in \mathbb{N}; \; a_1+a_2=n} \frac{n!}{a_1! a_2!} = 2^n \; \forall n \in \mathbb{Z^+} \tag 2$$

Generalizar $(2)$ : $$\sum_{a_1,...,a_k \in \mathbb{N}; \; a_1+...+a_k=n} \frac{n!}{a_1!...a_k!} = k^n \; \forall n,k \in \mathbb{Z^+} \tag 3$$

Utilizando el conteo doble, es fácil demostrar que $(3)$ es cierto. Así que tenemos una generalización de $(1)$ .

La cuestión es si podemos generalizar la identidad siguiente utilizando la misma idea

$$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2 = \binom{2n}{n} \; \forall n \in \mathbb{Z^+} \tag 4$$

que significa encontrar $f$ en

$$\sum_{a_1,...,a_k \in \mathbb{N}; \; a_1+...+a_k=n} \left ( \frac{n!}{a_1!...a_k!} \right )^2 = f(n,k) \; \forall n,k \in \mathbb{Z^+} \tag 5$$

Ese es el problema que intento resolver desde hace unos días pero no consigo nada. Si alguien tiene alguna idea, por favor, compártala. Gracias.

P.D: No es un encargo, y perdón por mi mal inglés.

Suplemento 1: Creo que tengo que dejarlo claro: el problema que he sugerido está a punto de encontrar $f$ que satisface $(5)$ . También muestro la forma en que encuentro el problema, y cuyo único propósito es que pueda aportar ideas para resolverlo.

Suplemento 2: Creo que he demostrado la identidad de $f(n,3)$ en el comentario siguiente $$f(n,3) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2 \binom{2i}{i} \tag 6$$ utilizando el conteo doble:

Contamos dos veces el número de formas de elegir un subgrupo con igualdad de sexos, la mitad de los cuales están en el turno especial, del grupo que incluye $n$ hombres y $n$ mujeres (se cuenta el subgrupo vacío).

La primera forma de contar: El número de subgrupos satisfactorios que contienen $2i$ personas es $\binom{n}{i}^2 \binom{2i}{i}$ . Entonces tenemos que el número de subgrupos satisfactorios es $RHS(6)$ .

La segunda forma de contar: El número de subgrupos satisfactorios que contienen $2(a_2+a_3)$ personas, $a_2$ mujeres en el servicio y $a_3$ hombres en el servicio es $$\left ( \frac{n!}{a_1!a_2!a_3!} \right )^2$$ . Por tanto, el número de subgrupos satisfactorios es $LHS(6)$ .

Por lo tanto, $(6)$ está demostrado.

Answer 1

Creo -siguiendo los comentarios- que se busca la generalización equivocada.

Lo que tienes es

$$\sum_i {n \choose i}^2= {2n \choose n}$$ que puede escribirse como $$ \sum_i {n \choose i} {n \choose n-i} = \sum_{i_1 + i_2=n}{n \choose i_1} {n \choose i_2} = {2n \choose n}$$

y la generalización natural es

$$ \sum_{i_1 + i_2 + \cdots +i_k=n}{n \choose i_1} {n \choose i_2} \cdots {n \choose i_k} = {k \, n \choose n}$$

Que esta generalización es la "correcta" análoga a su primera generalización también lo sugiere la interpretación combinatoria.

Answer 2

Inducción mediante La identidad de Vandermonde $$ \sum_{i_1+i_2=m}\binom{n_1}{i_1}\binom{n_2}{i_2}=\binom{n_1+n_2}{m}\tag{1} $$ produce $$ \sum_{i_1+i_2+\dots+i_k=m}\binom{n_1}{i_1}\binom{n_2}{i_2}\dots\binom{n_k}{i_k}=\binom{n_1+n_2+\dots+n_k}{m}\tag{2} $$