Adjoint izquierdo en una categoría del functor

Question

Edit: Originalmente "derecho adjuntos" en lugar de "izquierda adjunto"; ahora ha cambiado.

Si tengo pequeñas categorías $\mathcal{C},\mathcal{D}$ $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ un functor, a continuación, quiero mostrar que el functor $\tilde{F}:\mathbf{Set}^\mathcal{D} \to \mathbf{Set}^\mathcal{C}$ $G \mapsto G \circ F$ ha dejado adjunto.

Parece un functor adjunto teorema de resultado, pero me parece que no puede conseguir que funcione. Necesito un débil conjunto inicial en las categorías $(H \downarrow \tilde{F})$ por cada $H \in \mathbf{Set}^\mathcal{C}$. Yo estaba pensando en tomar algo como $\{(\mathcal{D}(FA,-),??)\}_{A \in \mathcal{C}}$ pero no sé cómo conseguir una transformación natural que se va a trabajar.

Alguna idea?

Si el $H = \mathcal{C}(A,-)$ luego puedo conseguir un débil inicial de la familia dado por $\{(\mathcal{D}(FA,-),\beta)\}_{A \in \mathcal{C}}$ donde $\beta_B(f:A \to B) = Ff \in \mathcal{D}(FA,FB)$, sin embargo no sé cómo hacerlo extensivo a otros casos. Yo podría añadir en una selección de $x \in HA$, lo que proporcionaría una única transformación natural $\mathcal{C}(A,-) \to H$, sin embargo esto no parece que me ayude mucho.

Answer 1

Parece que usted está casi allí:

Si $\tilde{F}$ ha dejado adjoint $L$, entonces debemos tener $$ \mathbf{Set}^{\cal D}(L({\cal C}(A,-)),G) \cong \mathbf{Set}^{\cal C}({\cal C}(A,-),G\circ F) \cong G(F(A)) \cong \mathbf{Set}^{\cal D}({\cal D}(FA,-)),G) $$

donde los dos últimos isomorphisms provienen de la Yoneda Lema.

Así que este pines por lo que los valores de $L$ puede tomar en la representable functors ${\cal C}(A,-)$. De hecho, la natural mapa $\beta: {\cal C}(A,-) \rightarrow {\cal D}(FA,F-)$ dado por $f\mapsto Ff$ ya ofrece la unidad en ${\cal C}(A,-)$ de la posible contigüidad (puede que tenga que comprobar esto).

Ahora cada functor $H: {\cal C}\rightarrow\mathbf{Set}$ es un colimit de representable functors. Ahora, si $L$ es un adjunto a la izquierda se tiene que preservar colimits $$ L(\mathop{\mathrm{colim}}_i\, {\cal C}(A_i,-)) \cong \mathop{\mathrm{colim}}_i\, {\cal D}(FA_i,-) $$ y esto se extiende a la previamente dado "parcial" a la izquierda adjunto.

Para $H=\mathop{\mathrm{colim}}_i\, {\cal C}(A_i,-)$ la unidad en $H$ es inducida por los mapas $$ {\cal C}(A_i,-) \stackrel{\beta_i} {\,} {\cal D}(FA_i,F-) \stackrel{d_i\circ F} {\} \mathop{\mathrm{colim}}_i {\cal D}(FA_i,-)\circ F $$ donde el $d_i$ son los colimit inyecciones.