Ayuda con el límite de una función en el $\frac{0}{0}$ caso

Question

El límite es este:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+2x)^\frac{1}{x}-(1+x)^\frac{2}{x}}{x}$$

He encontrado que tanto $(1+2x)^\frac{1}{x}$ $(1+x)^\frac{2}{x}$ tienden a $e^2$, por lo que el numerador tiende a 0. Creo que el libro dijo que el resultado de este límite es $-e^2$ si recuerdo correctamente.

Answer 1

Tenga en cuenta que utilizamos aquí dos bien conocidos los límites de $$\lim _{ \quad x\rightarrow 0 }{ { \left( 1+x \right) }^{ \frac { 1 }{ x } } } =e\\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-1 }{ x } } =1$$

$$\lim _{ x\rightarrow 0 } \frac { (1+2x)^{ \frac { 1 }{ x } }-(1+x)^{ \frac { 2 }{ x } } }{ x } =\lim _{ x\rightarrow 0 } \frac { { e }^{ \frac { 1 }{ x } \ln { \left( 1+2x \right) } }-{ e }^{ \frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } } }{ x } =\\ =\lim _{ x\rightarrow 0 } \frac { { e }^{ \frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } }\left[ { e }^{ \frac { 1 }{ x } \ln { \left( 1+2x \right) } -\frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } }-1 \right] }{ x } =\\\lim _{ x\rightarrow 0 } \frac { \left[ { e }^{ \frac { 1 }{ x } \ln { \left( 1+2x \right) } -\frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } }-1 \right] }{ \frac { 1 }{ x } \ln { \left( 1+2x \right) } -\frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } } \cdot \frac { { e }^{ \frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } } }{ x } \cdot \left[ \frac { 1 }{ x } \ln { \left( 1+2x \right) } -\frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } \right] =\\\ =\lim _{ x\rightarrow 0 } \frac { { e }^{ \frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } } }{ x } \cdot \left[ \frac { 1 }{ x } \ln { \left( 1+2x \right) } -\frac { 2 }{ x } \ln { \left( 1+x \right) } \right] =\lim _{ x\rightarrow 0 } \frac { (1+x)^{ \frac { 2 }{ x } } }{ { x }^{ 2 } } \cdot \ln { \left( \frac { 1+2x }{ { \left( 1+x \right) }^{ 2 } } \right) } =\\=\lim _{ x\rightarrow 0 } (1+x)^{ \frac { 2 }{ x } }\cdot \ln { { \left( \frac { 1+2x }{ 1+2x+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } } =\\ =\lim _{ x\rightarrow 0 } (1+x)^{ \frac { 2 }{ x } }\cdot \\\ln { { \left( 1+\frac { -{ x }^{ 2 } }{ 1+2x+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } } =\lim _{ x\rightarrow 0 } (1+x)^{ \frac { 2 }{ x } }\cdot \ln { { \left[ { \left( 1+\frac { -{ x }^{ 2 } }{ 1+2x+{ x }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1+2x+{ x }^{ 2 } }{ -{ x }^{ 2 } } } \right] }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \cdot \frac { -{ x }^{ 2 } }{ 1+2x+{ x }^{ 2 } } } } =\lim _{ x\rightarrow 0 } (1+x)^{ \frac { 2 }{ x } }\cdot \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \cdot \frac { -{ x }^{ 2 } }{ 1+2x+{ x }^{ 2 } } =\color{red}{-{ e }^{ 2 }}$$

Answer 2

Usted puede hacerlo con l'Hôpital. Considere la posibilidad de $f_{a,b}(x)=(1+ax)^{b/x}$; a continuación, $$ \log f_{a,b}(x)=b\frac{\log(1+ax)}{x} $$ y así $$ \frac{f_{a,b}'(x)}{f_{a,b}(x)}=b\frac{\frac{ax}{1+ax}-\log(1+ax)}{x^2}= \frac{b}{1+ax}\frac{ax-(1+ax)\log(1+ax)}{x^2} $$ Ya que usted sabe que $\lim_{x\to0}f_{a,b}(x)=e^{ab}$, por un límite básico, tenemos \begin{align} \lim_{x\to0}f_{a,b}'(x) &=be^{ab}\lim_{x\to0}\frac{ax-(1+ax)\log(1+ax)}{x^2}\\ &=be^{ab}\lim_{x\to0}\frac{a-a\log(1+ax)-a}{2x}\\ &=-\frac{ab}{2}e^{ab}\lim_{x\to0}\frac{\log(1+ax)}{x}\\ &=-\frac{a^2b}{2}e^{ab} \end{align} Así tenemos $$ \lim_{x\to0}\frac{f_{2,1}(x)-f_{1,2}(x)}{x}= \lim_{x\to0}\bigl(f_{2,1}'(x)-f_{1,2}'(x)\bigr)= -2e^2+b^2=-e^2 $$