El teorema en cuestión es:
Teorema. Deje $R$ ser un director ideal de dominio y deje $F$ libre $R$-módulo. Entonces cualquier submódulo $K\subseteq F$ es gratis.
Esto queda demostrado en Hungerford teorema 6.1, y en cualquier lugar utilizando el axioma de elección y la inducción transfinita de manera muy explícita. Tengo la sensación de que mi prueba es demasiado simple, y así tiene que ser muy incorrecto. No (de forma explícita) asumir el axioma de elección, ni de forma explícita el uso de la inducción transfinita.
Prueba. Considere la posibilidad de $F$ a estar libre para el conjunto de $X=\{x_i|i\in I\}$. Es decir, cada elemento de a $F$ puede ser escrita como una suma finita $\sum_j r_j x_j$. Denotar $K_i=K\bigcap \langle x_i\rangle=\{r_i x_i|\sum_j r_j x_j\in K\}$.
En primer lugar, quiero mostrar cada una de las $K_i=\langle h_i\rangle$ algunos $h_i\in K_i$. Por lo que considerar la proyección de $p_i:K_i\to R$ $p_i(r_i x_i)=r_i$ (que es bien definida por el universal gratuita de la propiedad de $F$). Este debe tener el $\ker p_i=(0)$ (por la construcción del módulo, $x_i$ es sólo formal marcador de posición, y $r_i x_i=0$ si y sólo si $r_i=0$). Desde $K_i$ $R$- módulo, $p_i(K_i)$ $R$- módulo y así es generado por un solo elemento, $p_i(K_i)=\langle a_i\rangle$. A continuación, $p_i:K_i\to \langle a_i\rangle$ es un uno-a-uno y en homomorphism. Denotar $h_i=p_i^{-1}(a_i)$. A continuación,$K_i=\langle h_i\rangle$. Cada valor distinto de cero principal ideal de un integrante del dominio es isomorfo al anillo, de modo que cada una de las $K_i$ es isomorfo a $R$ o $(0)$.
A continuación, considere la interna de la suma directa de todos los $K_i$, $\bigoplus^{i\in I} K_i$. Debido a su construcción por tomar las intersecciones, es un subconjunto de a $K$. Si se nos da una arbitraria finito suma $\sum_i r_i x_i\in K$, cada una de las $r_i x_i$ debe individualmente mentira en algunos $K_i$, y así que todo está en la suma directa de las $K_i$. Por lo tanto $K=\bigoplus^{i\in I}\langle h_i\rangle\cong \bigoplus_{i\in I} R$ (donde el último producto directo se toma sobre todos los $i$ tal que $K_i\neq (0)$), y por lo $K$ es gratis. $\square$
tal y como yo lo veo, he utilizado:
- la existencia de la suma directa de más de arbitrario familias indexados por $I$
- el hecho de que un $R$-módulo es igual a algunas suma directa de $R$ si y sólo si es libre
- que cada distinto de cero principal ideal de un integrante del dominio $R$ es isomorfo a $R$.
pero la prueba no puede ser correcto! La prueba en Hungerford se ejecuta una página de largo (donde la mayoría de las pruebas en Hungerford son un párrafo o unas pocas líneas!), y destaca el uso del axioma de elección. Donde me han llevado por mal camino?
