¿Cómo se relaciona el teorema del virial para partículas puntuales con el teorema del virial para un gas ideal?

Question

Algunas presentaciones del teorema del virial son mecánicas (véase esta página de John Baez, por ejemplo). Suponen que hay un sistema de partículas puntuales que interactúan sólo a través de la gravedad newtoniana (junto con otras suposiciones, por ejemplo, que las partículas no vuelan hasta el infinito), y muestran $\langle T \rangle = -\frac12\langle V\rangle$ . La física que entra es sólo las leyes de Newton.

Otras presentaciones se basan en la termodinámica (véase la página 81 de estas notas de Mike Guidry, por ejemplo). Imaginan un gas en equilibrio hidrostático, encuentran la presión y utilizan la ley de los gases ideales para obtener el mismo resultado, $T = -\frac12 V$ .

Las suposiciones físicas que se dan parecen bastante diferentes. En el caso mecánico, sólo tenemos interacciones gravitacionales. En el caso termodinámico, las interacciones ni siquiera se especifican. Es de suponer que las partículas del gas rebotan unas contra otras según algún tipo de ley de fuerza, pero en realidad sólo necesitamos saber que la ley de los gases ideales se cumple (y utilizar la condición de equilibrio hidrostático).

Aunque los teoremas parecen físicamente diferentes, tienen el mismo nombre y llegan a la misma conclusión (excepto que el termodinámico no necesita el promediado del tiempo). ¿Qué relación tienen estas dos versiones del teorema del virial? Aparte de analizar cada prueba por separado, ¿cómo se puede ver que deberían dar el mismo resultado?

nota: estoy preguntando por el caso especial del teorema del virial descrito anteriormente, no por el teorema del virial general para leyes de fuerza más generales, por ejemplo

Answer 1

Comentarios al post (v2):

1. En general, aunque los teoremas viriales de la mecánica clásica (MC) y de la mecánica estadística clásica (MEC) tienen la misma forma, es importante darse cuenta de que el procedimiento medio $\langle\cdot \rangle$ es una media a largo plazo en CM y una media estadística en CSM. Véase también mi respuesta relacionada en Phys.SE aquí .

2. Obsérvese que en los modelos de dinámica de fluidos se mezclan las nociones mecánicas y estadísticas, lo que da lugar a teoremas viriales híbridos. Por ejemplo, la energía de un fluido suele ser una mezcla de energía interna termodinámica y energías mecánicas (cinética y potencial). Véase, por ejemplo, mi respuesta relacionada en Phys.SE aquí .

Answer 2

¿Cómo se relacionan estas dos versiones del teorema del virial?

Respuesta corta, la derivación de Guidry no deriva realmente otra "versión del teorema virial" de validez general su resultado

$$ 2U+\Omega =0 ~~~(1) $$

que implica la energía interna del gas $U$ y la energía potencial del gas $\Omega$ implica un comportamiento más restringido que el resultado del teorema virial general habitual para sistemas ligados gravitatoriamente

$$ 2\langle T \rangle + \langle E_p\rangle =0 ~~~(2), $$ donde $E_p$ es la energía potencial gravitatoria, hace. Esto se debe a que la derivación de Guidry supone un supuestos especiales para obtener (1).

Respuesta larga, su argumento se basa en algunas suposiciones muy especiales:

• el gas tiene una presión definida $p$ en cada punto del espacio;

• todas las diferentes capas esféricas de gas están en reposo;

• las partículas interactúan según la ley de la gravitación de Newton (véase la fórmula del P.E. gravitacional que utiliza);

• las partículas del gas interactúan también a través de una interacción repulsiva de corto alcance de energía de interacción despreciable (por lo que las capas experimentan presión pero no hay que incluir ninguna contribución a la energía interna debida a esta repulsión, la densidad de energía interna es $3/2p$ en cuanto a las partículas que no se repelen);

• hay $R$ donde la presión $P=0$ o al menos $\lim_{r\to\infty} r^3 P \to 0$ .

La última suposición parece injustificada para un sistema de partículas que se atraen entre sí sólo gravitacionalmente, pero suspendamos esta incredulidad. *

Su derivación utiliza estos supuestos para llegar al resultado de que La energía interna del gas es igual a menos la mitad de la energía potencial de la masa, y ambas energías son constantes en el tiempo, ya que se supone que las capas esféricas no se mueven.

Por otro lado, el teorema general del virial, cuando se aplica a un sistema de partículas ligado gravitacionalmente, utiliza supuestos mucho menos restrictivos: sólo que el sistema no pierda partículas de forma demasiado violenta, por lo que el supuesto que subyace a la derivación del teorema del virial es válido, pero no hay ningún requisito de equilibrio hidrostático. Entonces los promedios de tiempo obedecen a la relación (2). Este resultado significa que tanto la energía cinética como la energía potencial pueden cambiar en el tiempo A diferencia de las cantidades de Guidry $U$ y $\Omega$ . Supuestos menos especiales, condición menos restrictiva que obedece el sistema.

* Las partículas que interactúan de forma puramente gravitacional tienden a formar sistemas sin una frontera aparente auto delimitada; normalmente, la densidad decae con la distancia pero no hay una superficie cerrada en la que caiga a 0; algunas partículas pueden alejarse arbitrariamente del sistema.