Dejemos que $X$ sea la suma conectada del toro con la Botella de Klein. Calcula el grupo fundamental de $X$

Question

Este verano estoy a cargo de la organización de un curso de preparación para el examen de calificación de posgrado de mi universidad en geometría diferencial/topología. Ya lo he hecho antes, así que estoy bastante seguro de mis conocimientos de geometría diferencial y topología de conjuntos de puntos. Sin embargo, estoy revisando el último examen de calificación en el área, y, para mi horror, hay una pregunta de topología algebraica en él. Está planteada de la siguiente manera:

Dejemos que $X$ sea la suma conectada del toro con la Botella de Klein. Calcula el grupo fundamental de $X$

Ahora bien, estoy razonablemente familiarizado con los grupos fundamentales, y a mi entender la "suma conectada" se crea eliminando una bola de cada espacio y pegando las esferas límite resultantes. El problema no especifica con precisión dónde estamos pegando los dos espacios, así que sólo puedo suponer que esto no cambia el grupo fundamental resultante (como es intuitivo).

Después de leer un poco, he encontrado la siguiente versión del Teorema de Seifert-van Kampen:

[Corolario 70.3 en Munkres] Sea $X=U\cup V$ , donde $U$ y $V$ están abiertas en $X$ ; asumir que $U$ , $V$ y $U\cap V$ están conectadas por un camino. Arreglar $x_0\in U\cap V$ . Si $U\cap V$ es simplemente conectado, entonces hay un isomorfismo $$ k:\pi_1(U,x_0)*\pi_1(V,x_0)\to\pi_1(X,x_0). $$ [Aquí $*$ denota el producto libre].

Dado que los grupos fundamentales del toro y de la botella de Klein son $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ y $<a,b:aba^{-1}b=1>$ respectivamente, parece que puedo aplicar el teorema anterior para decir que $$ \pi_1(X,x_0)=(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})*<a,b:aba^{-1}b=1>. $$ ¿Es esto cierto? Si es así, ¿se puede simplificar más esta representación? Estoy fuera de mi elemento aquí, así que me imagino que al menos debería consultar mis ideas con personas más capaces que yo antes de que comience el curso de preparación. Cualquier comentario o referencia a material similar es muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Tras los útiles comentarios de Camilo Arosemena-Serrato. He reunido esta "solución" que creo que es correcta. Si alguien pudiera verificarlo conmigo marcaré la pregunta como respondida. Gracias de nuevo.

"Respuesta"

Recordemos que la suma conectada se construye eliminando una bola de cada espacio y pegando las esferas límite resultantes. Sea $T$ sea el toro con alguna bola eliminada, y sea $K$ sea la botella de Klein con alguna bola eliminada. Sea $\iota_1:T\to X$ , $\iota_2:K\to X$ sean las inclusiones naturales. Fijar $x_0\in T\cap K$ . Según la versión clásica del teorema de Seifer-van Kampen (teorema 70.2 de Munkres), el homomorfismo $$ j:\pi_1(T,x_0)*\pi_1(K,x_0)\to\pi_1(X,x_0) $$ es suryente, y su núcleo está generado por todos los elementos del producto libre de la forma $\iota_1(g)^{-1}\iota_2(g)$ y sus conjugados, donde $g\in \pi_1(T\cap K,x_0)$ . Dejemos que $a_1,b_1$ sean los generadores del grupo fundamental del toro, y $a_2,b_2$ sean los generadores del grupo fundamental de la botella de Klein. Ahora $T\cap K$ es homotópico a un círculo, por lo que $$ \iota_1(g)=a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\hspace{ .5 in}\text{and}\hspace{.5 in}\iota_2(g)=a_2b_2a_2b_2^{-1}. $$ Concluimos por el primer teorema de isomorfismo de grupo que $$ \pi_1(X,x_0)=\big\langle a_1,a_1,b_1,b_2\,:\,a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_{2}b_{2}a_{2}b_{2}^{-1}=1\big\rangle. $$ En otras palabras, el primer grupo fundamental de $X$ es el grupo libre generado por $a_1,a_2,b_1,b_2$ modulo el subgrupo normal generado por $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_{2}b_{2}a_{2}b_{2}^{-1}$