Probar: $ \operatorname{Ker}(T)^\perp= \operatorname{Im}(T^*)$

Question

Deje $T:V\to V$

Probar: $ \operatorname{Ker}(T)^\perp= \operatorname{Im}(T^*)$

Si $v\in \operatorname{Im}(T^*)$ $\exists w\in V:T^*w=v$ pero, ¿cómo puedo seguir desde aquí?

Si $v\in \operatorname{Ker}(T)^\perp$, ¿qué dice?

Answer 1

Tenemos

\begin{align} x \in \ker T &\iff Tx = 0 \\ &\iff \langle Tx,y\rangle= 0, \forall y \in V \\ &\iff \langle x,T^*y\rangle= 0, \forall y \in V \\ &\iff x \perp \operatorname{Im} T^* \\ &\iff x \in (\operatorname{Im} T^*)^\perp \end{align}

por lo $\ker T = (\operatorname{Im} T^*)^\perp$. Ahora toma el complemento ortogonal.

Answer 2

Comentario: la descomposición $V=A\oplus A^\perp$ sólo funciona en el caso de $V$ es finito-dimensional.

Primero observar que si $b$ es un elemento del núcleo de $T$,$\langle T^*a,b\rangle=\langle a,Tb\rangle=0$, lo $\textrm{Im}T^*\subset\textrm{Ker}T^{\perp}$. Del mismo modo, $\textrm{Ker}T\subset{\textrm{Im}T^*}^{\perp}$. En las manos de otros, $V=\textrm{Ker}T\oplus\textrm{Ker}T^\perp=\textrm{Im}T^*\oplus{\textrm{Im}T^*}^{\perp}$. Con el fin de demostrar que el otro inclusiones, uno sólo necesita (lo siento por este salto, no estoy seguro de cómo explicar :D) para demostrar ${\textrm{Im}T^*}^{\perp}\cap\textrm{Ker}T^\perp=\{0\}$, lo cual es cierto porque si $x$ es un elemento de esta intersección, a continuación, $\langle T^*a,x\rangle=0$ para todos los vectores de $a$, por lo tanto $x$ está contenida en el Núcleo de $T$ y en su complemento, por lo $x$ $0$.