Es el ideal $I:=\langle xy-z,x^5-z^3 \rangle$ prime in $\Bbb{C}[x,y,z]$ ?

Question

Tomemos el ideal $I:= \langle xy-z,x^5-z^3 \rangle$ del anillo $\Bbb{C}[x,y,z].$ Queremos averiguar si este ideal es primo.

Mis pensamientos: Definimos $f:=xy-z,\ g:=x^5-z^3 \in \Bbb{C}[x,y,z].$ La primera reflexión consiste en demostrar que el anillo cociente $\Bbb{C}[x,y,z]/\langle xy-z,x^5-z^3\rangle$ es un dominio integral.

Observamos que $f:=-z+xy\in \Bbb{C}[x,y][z]$ es irreducible en $\Bbb{C}[x,y][z]=\Bbb{C}[x,y,z]$ desde $f$ tiene grado $1$ y $-1\in U(\Bbb{C}[x,y])=\Bbb{C^*}$ . Y, a partir del Criterio de Eisenstein general, podemos tomar que $g$ también es irreducible.

1) ¿Es cierto que (puesto que $f,g$ son irreducibles ) $\gcd (f,g)=1\implies 1\in I \iff I=\Bbb{C}[x,y,z]?$ Y si la respuesta es negativa, ¿por qué?

2) He encontrado en este puesto que aunque en $K[x]$ un polinomio irreducible genera un ideal primo (maximal), ahora bien, esto no siempre es cierto, por lo que no podemos afirmar de la irreducibilidad de $f,g$ que $I$ es primo.

¿Podría ayudarme?

Gracias de antemano.

Answer 1

No, esto no es un primo. Voy a tomar un enfoque diferente al que has empezado.

Vemos que $(xy -z, x^5 -z^3) = (xy-z, x^5 -x^3y^3) = (xy - z) + (x^3(x^2-y^3)$ . A partir de aquí, podemos eliminar $z$ utilizando $xy-z$ : $$\frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(xy-z, x^5-z^3)} \cong \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(x^3(x^2-y^3))}$$ Este último anillo no es un dominio integral, ya que $x^3$ y $x^2-y^3$ no son cero en este anillo, pero su producto sí.

Espero que te sirva de ayuda. Si no, dímelo.

Answer 2

He aquí una forma (posiblemente) más sencilla e intuitiva de entender lo que ocurre cuando se toma el cociente de $R=\mathbb C[x,y,z]$ por el ideal $I=\left< xy-z , x^5 - z^3 \right>$ .

Cuando hallamos un cociente de un anillo por un ideal, estamos esencialmente igualando todo en el ideal a $0$ . Esto equivale a introducir "reglas de sustitución" que nos permiten reescribir polinomios en $R$ en una forma diferente (esperemos que más sencilla).

En este caso concreto, por ejemplo, el elemento $xy - z \in I$ nos dice que en $R/I$ tenemos $xy-z=0$ Así que $xy=z$ . Esto significa que cualquier polinomio en tres variables puede reescribirse como un polinomio equivalente en sólo dos sustituyendo cada aparición de $z$ con $xy$ . Así, por ejemplo, los polinomios $x^2+y+z^3$ y $x^2+y+(xy)^3$ son elementos diferentes de $R$ pero se identifican en $R/I$ . El resultado práctico es que $\mathbb C[x,y,z]/\left<xy-z\right> \cong \mathbb C[x,y]$ .

Ahora, ¿qué pasa con el segundo generador de $I$ a saber $x^5 - z^3$ ? Una vez que ya hemos tenido en cuenta la regla de sustitución del apartado anterior, esto nos dice que en $R/I$ el polinomio $x^5 - (xy)^3$ es igual a $0$ . Equivalentemente, tenemos $x^3(x^2-y^3) = 0$ como identidad en $R/I$ .

Pero esto demuestra claramente que $R/I$ es no un dominio integral, porque en $R/I$ tenemos $x^3 \ne 0$ y $x^2-y^3\ne 0$ pero su producto es $0$ . Si quieres también puedes expresarlo en términos del ideal original $I$ tenemos $x^3\notin I$ y $x^2-y^3\notin I$ pero $x^3(x^2-y^3) \in I$ . Así que $I$ no es primo.

Answer 3

1. ¿Por qué $\gcd(f,g)\in I$ ? Parece que estás usando que existe $h,\ell$ para que $\gcd(f,g)=fh+g\ell$ . Pero este hecho, la identidad de Bezout, es cierto si el anillo en el que se trabaja es un dominio de Bezout, es decir, un dominio en el que la suma de dos ideales principales es de nuevo principal. Pero $\Bbb C[x,y,z]$ no es un dominio de este tipo: El ideal $(x)+(y) = (x,y)$ no es principal.
2. Sí.

En general, este tipo de problema no es fácil de resolver a mano. Existe un algoritmo para determinar si un ideal en $k[x_1,\dots, x_n]$ es primo, y utiliza bases de Grobner, donde $k$ es cualquier campo. Véase, por ejemplo, la página 712 de la obra de Dummit y Foote Álgebra abstracta Tercera edición. Este método le permite hacer todo a mano, pero puede ser un poco desordenado.