¿He encontrado correctamente la forma de Jordan?

Question

Dado que el polinomio mínimo y el polinomio característico de una matriz son $(x-1)^2(x+1)^2$. He encontrado que la forma de Jordan es $$\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1\end{bmatrix}.$$ ¿Es esto correcto o he cometido algún error en algún lugar?

Answer 1

La forma de Jordan tiene que ser \begin{bmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & b \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix> debido a las multiplicidades, con $a, b \in \{0,1\}$. Si $a=0$, el bloque superior $2\times2$ satisface el polinomio $x-1$, por lo que la matriz satisface $(x-1)(x+1)^2$. De manera similar, si $b=0$, la matriz satisface $(x-1)^2(x+1)$. Por lo tanto, $a=b=1$.

Answer 2

Es correcto.

El hecho de que el polinomio característico sea igual a $(x-1)^2(x+1)^2$ muestra que la dimensión del espacio es $4$ y que $\sigma(A) = \{-1,1\}$.

Ahora, el hecho de que el polinomio minimal sea igual a $(x-1)^2(x+1)^2$ muestra que los bloques más grandes asociados con $-1$ y $1$ son ambos de tamaño $2 \times 2$.

Por lo tanto, hay precisamente un bloque $2 \times 2$ para $-1$ y un bloque $2 \times 2$ para $1.