¿Es la identificación de puntos opuestos en el resultado del espacio euclidiano en un múltiple liso?

Question

Tomando el espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$ y la identificación de todos los pares de puntos a $\{\mathbf{x}, -\mathbf{x}\}$ resultados en topológico, espacio cociente $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}_2$. Es este cociente de un espacio liso (de Riemann, etc.) el colector? Si es así, ¿que el colector de tener una manera más simple o más estándar descripción equivalente? ¿Cuál es su topología algebraica? Intuitivamente, me parece que el cociente espacio debe ser suave, un colector, excepto posiblemente en el origen. (Si hubiéramos empezado con la esfera de $S^n$ en lugar de un espacio Euclídeo $\mathbb{R}^n$, entonces sería, por supuesto, obtener el verdadero proyectiva espacio liso colector $\mathbf{RP}^n$.)

Un par de reflexiones: si nos folio $\mathbb{R}^n$ en esferas concéntricas, entonces podemos ver que este topológica del espacio consiste en un montón de las copias de $\mathbf{RP}^n$. Distancia desde el origen, se debería localmente parecerse a $\mathbf{RP}^n \times \mathbb{R}$, por lo que debe ser un suave colector, pero no estoy seguro de lo que sucede en el origen. Otra manera de enfocar el problema es distinguir una de coordenadas Cartesianas (WLOG vamos a ser la primera) y creo que de $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ como una suma directa de $(x^1, \mathbf{y}) \in \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}^{n-1}$. A continuación, podemos olvidarnos de la mitad de espacio- $x^1 < 0$ ya que es identificado con la otra mitad-en el espacio (con la adecuada inversión de los ortogonal del subespacio). Si denotamos el cociente del espacio de $\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}_2$$Y_n$, entonces la identificación reduce el límite hyperplane $(x^1 = 0) \cong \mathbb{R}^{n-1}$ a un inferior-dimensiones de la versión del mismo problema, por lo que podemos describir de forma recursiva $Y_n$ $n$- dimensional Euclideano la mitad de espacio delimitado por $Y_{n-1}$. Sospecho que hay una manera más simple de pensar que si.

P. S. yo sólo soy un tonto físico sin mucho fondo en matemáticas avanzadas. Agradecería cualquier intuición visual de la $n = 2$ $n = 3$ de los casos.

Answer 1

Esto no es suave en general. Para$n = 2m$, incluso hay una buena descripción en términos de la geometría algebraica : tome $\Bbb C^N$ con coordenadas $z_1, \dots, z_m, w_{1,2}, w_{1,3}, \dots, w_{m-1,m}$. Las correspondientes ecuaciones se $z_iz_j = w_{ij}^2$. Por ejemplo, $m=2$ da la cuadrática cono $xy = z^2$, en singular.

En general, me reclamar su espacio es topológicamente el cono sobre $\Bbb RP^{n-1}$, que es el cociente del espacio de $[0,1) \times \Bbb RP^{n-1} /\sim$ donde $(0,x) \sim (0,y)$ todos los $x,y \in \Bbb RP^{n-1}$.

A ver que $\Bbb R^n/(\Bbb Z/2\Bbb Z)$ es el cono sobre una real proyectiva del espacio, nos fijamos en el mapa de $ p : X:= \Bbb R_{\geq 0} \times S^{n-1} \to \Bbb R^n$ contratante $S^{n-1} \times \{0\}$ a la de origen. Hay una natural $\Bbb Z/2 \Bbb Z := \Gamma$-acción en $X$ $p$ $\Gamma$- equivariant. Esto significa que tenemos un mapa de $p : X/\Gamma \to \Bbb R^n/\Gamma$. Este mapa es claramente surjective y adecuada. Esto significa que tenemos un isomorfismo $p(X/\Gamma) \cong \Bbb R^n/\Gamma$. Pero $p$ es exactamente contratante $S^{n-1}$ a un punto, así que recuperar la descripción anterior.

La intuición es como sigue : $p$ es la sustitución de $0$$E := S^{n-1}$, llame al nuevo espacio de $X$. Ahora, tomando el cociente de $\Bbb R^n$ o tomando el cociente de $X$ y luego contratante $E$ no cambia nada. Pero la descripción de la con $\Bbb R_{\geq 0} \times S^{n-1}$ deja claro que estamos tomando un montón de $\Bbb RP^{n-1}$ como usted dijo, y añadiendo el origen en el extremo.