Relaciones de inclusión entre clases equationally definidas de Semigrupos finitos

Question

Deje $S, T$ dos semigroups. En los siguientes semigroups se supone que ser finito. Escribimos $S \prec T$ si existe un surjective semigroup de morfismos de un subsemigroup de $T$ a $S$. Una clase de finito semigroups $\mathcal V$ está definido por un conjunto de ecuaciones si exactamente el semigroup en $\mathcal V$ satisfacer esas ecuaciones, similar a una clase finita monoids. Deje $\mathcal W$ ser una clase de monoid, denotamos por a $\mathcal W_S$ la clase de semigroups $$\mathcal W_S = \{ S \mbox{ es un semigroup} \mediados del S \prec M, M \in \mathcal W \}$$ donde el monoid $M$ es considerado como un semigroup. Deje $R_n$ denotar la clase de monoid definido por $$(xy)^n x = (xy)^n.$$ Luego, la clase de semigroup $(R_n)_S$ está definido por las ecuaciones $$x^{n+1} = x^n, \quad (xy)^n x = (xy)^n.$$ Denotar por $V_n$ la clase de semigroups definido por la ecuación $$(xy)^n x = (xy)^n.$$ Mostrar que $$(R_n)_S \subseteq V_n \subseteq (R_{n+1})_S.$$ Sugerencia: Utilizar el programa gratuito semigroup más de dos generadores y sus subsemigroup de sequenezes de longitud de, al menos, $k$ adecuado $k$.

Este es el ejercicio V. 3.2 de Samuel Eilenberg, Autómatas, Máquinas e Idiomas, Volumen B.

La inclusión $(R_n)_S \subseteq V_n$ es obvio, para el propio podemos ver en el cíclico semigroup $S = \{x,x^2, \ldots, x^{n+1}\}$$x^{n+2} = x^{n+1}$. Pero para los otros inclusión no tengo idea? Veo que si ponemos en $y = x$ obtenemos $V_n \subseteq (R_{2n})_S$, pero eso no es suficiente.

Answer 1

De hecho es un error. La segunda inclusión no $n = 2$. Tomar el facilitándole ${a, a^2, a^3, a^4}$ $a^4 = a^5$. Entonces satisface la ecuación $(xy)^2x = (xy)^2$ pero no satisface la ecuación $x^4 = x^3$.