$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-n^2)}{1-4n^2}$ en forma cerrada?

Question

He accrossed esta suma, que se define como :$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-n^2)}{1-4n^2}$ , Wolfram alpha asumir que la serie converge y se da $\approx 0.75229789\cdots$ , realmente he tratado de presentar ese valor en forma cerrada mediante Inversa simbólico de la calculadora , pero no he tenido éxito , Ahora mi pregunta es : para dar el valor de el título de la serie en la forma cerrada ?

Answer 1

EDITAR 29.06.18 13:15

Corrección

La proporcionada previamente cerrado expresión $s_{c}$ ha demostrado ser incorrecta por parte de algunos comentaristas.

Como Mariusz señaló correctamente hay saltos en la función de $p(z)$ (ver (d8)) a $z=k \;\pi$

De la corrección de las $m$ de los saltos de la cerrada de la expresión está dada por la (extremadamente rápida convergencia) de la serie

$$s_{c}(m) = s_{c}+\frac{\pi }{2 \sqrt[4]{e}} \sum _{k=1}^m (-1)^k \left(\text{erfi}\left(\frac{1}{2}+i \pi k\right)+\text{erfi}\left(\frac{1}{2}-i \pi k\right)\right)$$

Ejemplos numéricos

Dejando $sN(100) = s$ hasta 100 válida dígitos obtenemos para las diferencias $d(m) = s_{c}(m) - sN(100)$ $m=0..3$ el siguiente

$$ \left\{-\frac{3.996}{10^6},-\frac{1.54}{10^{19}},-\frac{2.5929}{10^{41}},-\frac{1.456}{10^{71}}\right\}$$

Resumiendo: en lugar de un verdadero cerrado expresión para $s$ en la práctica hemos transformado una suma en otra suma, que, sin embargo converge muy rápido.

La pregunta original es ahora para ser repetido para la última suma.

Comentario

Independientemente de que esta corrección, el descubierto extraño numérico comportamiento Mathematica merece mayor estudio.

Nota agregada 1. Julio: Algunos pasos ya se han dado aquí https://mathematica.stackexchange.com/questions/176240/bug-in-analytical-expression-of-integral-containing-abs-function/176342#176342

EDITAR 28.06.18 14:00

Se han planteado dudas en los comentarios de que mi resultado podría estar equivocado. Las argumentos parecen depender de la evaluación numérica en Mathematica. Por lo tanto, he ampliado la derivación a mostrar más pasos para que los posibles defectos pueden ser detectados.

Post como de 27.06.18

He encontrado el cerrado expresión para la suma

$$s=\sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{\exp \left(-n^2\right)}{1-4 n^2}$$

Está dada por

$$s_{c}=\frac{\pi\; \text{erfi}\left(\frac{1}{2}\right)}{2 \sqrt[4]{e}} $$

Derivación a ver a continuación.

Numéricamente, la primera de 60 dígitos de $s_{c}$ según Mathematica 10.1 son

$$N(s_{c}) = 0.75229|3902402569849043685417920199342618157039554017947019766$$

mientras que, como se ha señalado en los dos comentarios, $s_{c}$ difiere de $s$ numéricamente ya en el quinto dígito decimal:

$$N(s) = 0.75229|7898472243144830594123416216568518483359108518774883675$$

Algo está mal aquí.

Post Original

Como parte de la solución que le damos aquí una representación integral de la suma en cuestión

$$s=\sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{\exp \left(-n^2\right)}{1-4 n^2}$$

La división de la suma en el plazo de con $n=0$, y la observación de la simetría de los sumandos $s$ puede ser witten como

$$s = 1-2 p\tag{1}$$

donde

$$p = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\exp \left(-n^2\right)}{4 n^2-1}\tag{2}$$

Escrito el denomintor para $n \ge 1$ como parte integrante del

$$\frac{1}{4 n^2-1} = \int_0^{\infty } \exp \left(-t \left(4 n^2-1\right) \right) \, dt \tag{3}$$

lleva bajo la integral de la suma

$$ \sum _{n=1}^{\infty } \exp \left(-\left(4 n^2-1\right) t-n^2\right) $$

Que puede ser evaluado en términos de la Jacobi Theta función:

$$\frac{1}{2} e^t \left(\vartheta _3\left(0,e^{-4 t-1}\right)-1\right)\tag{4}$$

Usando (3) nos encontramos con la representación integral

$$p=\int_0^{\infty } \frac{1}{2} e^t \left(\vartheta _3\left(0,e^{-4 t-1}\right)-1\right) \, dt\tag{5}$$

La derivación de la expresión cerrado

Los ingredientes son fáciles de comprobar:

Parcial de la fracción de descomposición da lugar de (3):

$$\frac{1}{4 n^2-1} = \int_0^{\infty } \sinh (t) \exp (-2 n t) \, dt\tag{d1}$$

En virtud de la transformada de Fourier el exponente se convierte en lineal en $n$

$$e^{-n^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \int_{-\infty }^{\infty } \exp \left(-x^2\right) \exp (2 i n x) \, dx\tag{d2}$$

En virtud de las dos integrales de la suma de $p$ es lineal en el Exponente, es decir, es una forma geométrica de la suma, y por lo tanto se puede hacer fácilmente:

$$\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty } \exp \left(-x^2\right) \sinh (t) \exp (-2 n t) \exp (2 i n x) = \frac{e^{-x^2+2 i x} \sinh (t)}{\sqrt{\pi } \left(e^{2 t}-e^{2 i x}\right)}\tag{d3}$$

Ahora el t-integral se resuelve por la Matematica suponiendo que $x$ es real para dar

$$\int_0^{\infty } \frac{e^{-x^2+2 i x} \sinh (t)}{\sqrt{\pi } \left(e^{2 t}-e^{2 i x}\right)} \, dt = \frac{e^{-x^2} \left(1+2 i \sin (x) \tanh ^{-1}\left(e^{i x}\right)\right)}{2 \sqrt{\pi }}\tag{d4}$$

Por último, pero no menos importante, el x-integral entre el $-\infty$ $+\infty$ puede ser por escrito, utilizando la simetría de el integrando como

$$p=\int_0^{\infty } \frac{e^{-x^2} \left(1-i \sin (x) \left(\tanh ^{-1}\left(e^{-i x}\right)-\tanh ^{-1}\left(e^{i x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi }} \, dx\tag{d5}$$

La observación de que

$$i \left(\tanh ^{-1}\left(e^{-i x}\right)-\tanh ^{-1}\left(e^{i x}\right)\right)=\frac{\pi }{2} \; \text{sgn}(\sin (x))\tag{d6}$$

el x-integral se convierte en

$$p=\frac{1}{2 \sqrt{\pi }}\int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^2} \left(1-\frac{1}{2} \pi \left| \sin (x)\right| \right) \, dx\tag{d7}$$

donde hemos vuelto a la forma simétrica, para corregir esto por el factor de $\frac{1}{2}$ frente a

Mathematica se negó a hacer esta integral directamente pero fue un éxito con la integral de tiempo finito, con algunos $z\gt 0$

$$p(z)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi }}\int_{-z }^{z} e^{-x^2} \left(1-\frac{1}{2} \pi \left| \sin (x)\right| \right) \, dx$$

$$= \frac{1}{8} \left(4 \text{erf}(z)+\frac{\pi \left(-2 \text{erfi}\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\text{erfi}\left(\frac{1}{2}+i z\right)+\text{erfi}\left(\frac{1}{2}-i z\right)\right) \csc (z) \left| \sin (z)\right| \right)}{\sqrt[4]{e}}\right)\tag{d8}$$

Ahora el Límite de $z\to\infty$ tiene que ser tomado. De nuevo Mathematica se negó, pero lo que hizo esta asymtotic de expansión de la serie acerca de la $z=\infty$

$$\frac{i \sqrt{\pi } e^{-z^2-i z} \csc (z) \left| \sin (z)\right| }{8 z}-\frac{i \sqrt{\pi } e^{-z^2+i z} \csc (z) \left| \sin (z)\right| }{8 z}-\frac{\pi \text{erfi}\left(\frac{1}{2}\right)}{4 \sqrt[4]{e}}-\frac{e^{-z^2}}{2 \sqrt{\pi } z}+\frac{1}{2}\tag{d9}$$

Dejando ahora a $z\to\infty$ da finalmente

$$p = \frac{1}{2}-\frac{\pi \text{erfi}\left(\frac{1}{2}\right)}{4 \sqrt[4]{e}}\tag{d10}$$

y el inicial de la suma se convierte en

$$s = 1 - 2 p = \frac{\pi \text{erfi}\left(\frac{1}{2}\right)}{2 \sqrt[4]{e}}$$

Answer 2

He encontrado la fórmula general. No es la forma cerrada de la solución única aproximación para la suma:

$$\sum _{j=-\infty }^{\infty } \frac{\exp \left(-j^2\right)}{1-4 j^2}\approx \frac{\pi \sum _{k=1}^n \left(\frac{\text{erfi}\left(\frac{1}{2}\right)}{n}+(-1)^k \text{erfi}\left(\frac{1}{2}-k i \pi \right)+(-1)^k \text{erfi}\left(\frac{1}{2}+k i \pi \right)\right)}{2 \sqrt[4]{e}}$$

para $n=1$ es sólo correcto de 18 dígitos.

para $n=2$ es correcta sólo para 40 dígitos.

para $n=3$ es correcta sólo para 70 dígitos.

para $n=4$ es correcta sólo para 109 dígitos.

si $n>4$ es mejor que la aproximación y la más correcta dígitos.

La derivación de la fórmula

Los préstamos integral de la $(d7)$ formulario de usuario, Dr. Wolfgang Hintze y la integración con Mathematica ayuda:

$$\int \frac{\exp \left(-x^2\right) \left(1-\frac{1}{2} \pi \left| \sin (x)\right| \right)}{2 \sqrt{\pi }} \, dx=\\\frac{4 \sqrt[4]{e} \text{fer}(x)-\pi \left(\text{erfi}\left(\frac{1}{2}-i x\right)+\text{erfi}\left(\frac{1}{2}+i x\right)\right)+2 \pi \left(\text{erfi}\left(\frac{1}{2}-i x\right)+\text{erfi}\left(\frac{1}{2}+i x\right)\right) \theta (\sin (x))}{16 \sqrt[4]{e}}+C$$

tomando límite en los saltos puntos:

$$\left(\underset{x\a \pi ^-}{\text{lim}}\text{int}-\underset{x\to 0^+}{\text{lim}}\text{int}\right)+\left(\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\text{int}-\underset{x\(2 \pi )^+}{\text{lim}}\text{int}\right)+\left(\underset{x\(2 \pi )^-}{\text{lim}}\text{int}-\underset{x\a \pi ^+}{\text{lim}}\text{int}\right)+\left(\underset{x\a (-2 \pi )^-}{\text{lim}}\text{int}-\underset{x\a\infty }{\text{lim}}\text{int}\right)+\left(\underset{x\to 0^-}{\text{lim}}\text{int}-\underset{x\(- \pi )^+}{\text{lim}}\text{int}\right)+\left(\underset{x\a (-\pi )^-}{\text{lim}}\text{int}-\underset{x\a (-2 \pi )^+}{\text{lim}}\text{int}\right)=\\\frac{1}{2}-\frac{\pi \left(\text{erfi}\left(\frac{1}{2}\right)-\text{erfi}\left(\frac{1}{2}-i \pi \right)-\text{erfi}\left(\frac{1}{2}+i \pi \right)+\text{erfi}\left(\frac{1}{2}-2 i \pi \right)+\text{erfi}\left(\frac{1}{2}+2 i \pi \right)\right)}{4 \sqrt[4]{e}}$$

sobre esta base, es posible deducir la fórmula.