Límite de y(x) en la Ecuación Diferencial de Segundo Orden

Question

Así que, a pesar de que sé cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, no sé cómo debo proceder sobre esta pregunta:

Vamos $a$, $b$, y $c$ constantes positivas. Si $y = y(x)$ es la solución a la ecuación diferencial $ay'' + by' + cy = 0$, luego $\lim_{x\to\infty}$ $y(x)$:

(a) no existe y tiende a $+\infty$.
(b) existe y es $0$.
(c) no existe y tiende a $-\infty$.
(d) existe y es $\pi$.
(e) existe y es $e$.

Traté de tomar el límite de las posibles soluciones, pero incluso si $a$, $b$, y $c$ son positivas sólo números, hay muchas posibilidades por lo que no pude lograr nada.

Gracias por la lectura!

Answer 1

De acuerdo a la final de Laplace teorema del valor para un sistema estable bajo las condiciones iniciales,

$$ \lim_{t\to\infty}y(t) = \lim_{s\to 0}sY(s) $$

y aquí

$$ Y(s) = \frac{s \dot y(0)+y(0)}{s^2+bs+c} $$

que es la transformada de Laplace de $y(t)$. Aquí los polos son

$$ s^* =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

entonces como $\left(\frac{-b}{2a}\right) < 0$ la respuesta del sistema es estable y bajo esas condiciones se tiene que

$$ \lim_{t\to\infty}y(t) = \lim_{s\to 0}sY(s) = 0 $$

Answer 2

Desde

$a, b, c > 0, \tag 1$

podemos establecer

$\alpha = \dfrac{b}{a}, \; \beta = \dfrac{c}{a}, \tag{2}$

y obtener una ecuación equivalente

$y'' + \alpha y' + \beta y = 0, \; \alpha, \beta > 0; \tag{3}$

a continuación, ajuste de

$\mu_\pm = \dfrac{1}{2}(-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4 \beta}), \tag 4$

podemos distinguir dos casos: el primero

$\alpha^2 \ne 4 \beta, \tag 5$

de dónde

$\sqrt{\alpha^2 - 4\beta} \ne 0, \tag 6$

y las raíces $\mu_\pm$ son por lo tanto distinta; en este caso la solución general es de la forma

$y(t) = c_+ e^{\mu_+ t} + c_- e^{\mu_- t}; \tag 7$

pues a partir de (4) cada uno de los $\mu_\pm$ tiene parte real negativa,

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = 0; \tag 8$

si, por otro lado,

$\alpha^2 = 4\beta, \tag 9$

entonces podemos escribir

$\mu_+ = \mu_- = \mu = -\dfrac{\alpha}{2} < 0, \tag{10}$

y la solución que ahora toma la forma

$y(t) = e^{\mu t}(c_1 + c_2 t) \to 0 \; \text{as} \; t \to \infty, \tag{11}$

dado que el término exponencial domina $c_1 + c_2 t$ $t$ lo suficientemente grande.

En cualquier caso, si $\mu_+ = \mu_-$ o no, tenemos $\lim_{t \to \infty} y(t) = 0$; por lo tanto (b) es el resultado correcto.

Sólo para comprobar que $t e^{\mu t}$ resuelve (3): si

$y(t) = te^{\mu t}, \tag{12}$

entonces

$y'(t) = e^{\mu t} + \mu t e^{\mu t}; \tag{13}$

$y''(t) = \mu e^{\mu t} + \mu e^{\mu t} + \mu^2 t e^{\mu t} = \mu^2 t e^{\mu t} + 2 \mu e^{\mu t}; \tag{14}$

$y''(t) + \alpha y'(t) + \beta y(t) = \mu^2 t e^{\mu t} + 2 \mu e^{\mu t} + \alpha \mu t e^{\mu t} + \alpha e^{\mu t} + \beta t e^{\mu t}$ $= (\mu^2 + \alpha \mu + \beta) t e^{\mu t} + (\alpha + 2 \mu) e^{\mu t} = 0 \tag{15}$

desde

$\mu^2 + \alpha \mu + \beta = (\mu + \dfrac{\alpha}{2})^2 = 0 = 2\alpha + \mu, \tag{16}$

lo que sigue a partir de (4) al (9), que se une.

Answer 3

De hecho hay varias posibilidades, pero yo no lo llamaría necesariamente que "muchos". Y la clave es que los tres coeficientes $a$, $b$, y $c$ son números reales positivos.

Las raíces de la ecuación característica son $$\lambda_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Saltar hacia adelante, el $\displaystyle \color{red}{-\frac{b}{2a}}$ parte, que es, obviamente, un número negativo aquí, es la clave! De todos modos, ahora solo tenemos tres significativamente diferentes de casos basados en el análisis discriminante.

• Si $b^2-4ac>0$, luego tenemos dos raíces reales distintas, y es fácil ver que tanto $\lambda_{1,2}$ son negativos.

• Si $b^2-4ac=0$, luego tenemos la repetición de una raíz real $\displaystyle\lambda_{1,2}=-\frac{b}{2a}$, en tanto que es un número negativo.

• Si $b^2-4ac<0$, luego tenemos dos complejas conjugadas raíces, cuya parte real es el mismo valor negativo $\displaystyle -\frac{b}{2a}$.

La configuración de las soluciones correspondientes a $y(x)$ en los tres casos conduce a las funciones que tienen el mismo límite como $x\to+\infty$. En el primer caso la solución es una combinación lineal de $e^{\lambda_1}$$e^{\lambda_2}$, donde ambos se $\lambda_{1,2}<0$; y en el segundo y tercer caso, la clave está en que la solución tiene un factor de $e^{-b/(2a)}$ (a veces algo que no crece lo suficientemente rápido o no crecer en todos).

Answer 4

Tenga en cuenta que su ecuación diferencial es lineal. Si $y$ es una solución a su problema, a continuación, $\lambda y$ es una solución para la ecuación. Ninguna de las condiciones iniciales están dadas en el problema.

En consecuencia, si $\lim_{x\rightarrow\infty} y(x)$ valor $A$ (donde $A$ es posiblemente $\pm\infty$), $\lim_{x\rightarrow\infty} \lambda y(x)$ valor $\lambda A$.

Dado que una de las respuestas a la e es correcta, así que sabiendo que $A$ existe, la única forma en que puede ser definida únicamente si es $A=\lambda A$ todos los $\lambda$, o en otras palabras $A=0$, y la respuesta b es correcta.

Answer 5

Verificar siempre la solución trivial. $y \equiv 0$ es una solución de la ecuación dada. Esto hace que la respuesta (b) correcto. (Las otras respuestas correctas aquí se llega a la misma conclusión por otros medios.)