Cómo demostrar a $2e^x>x^3+3x$ tiene para todos los $x \in \mathbb{R}$?

Question

Problema

Demostrar que $$2e^x>x^3+3x, \forall x \in \mathbb{R}.$$

Notas

Es claro que la desigualdad se cumple para todos los $x \leq 0$. Por lo tanto, sólo necesitamos reserch la situación al $x>0.$

Deje $f(x)=2e^x-x^3-3x,(x>0).$ Aquí si utiliza Tayor la fórmula de $e^x$, es decir,,$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots,$$ and plug it into $ f(x)$,you'll have $$f(x)=2-x+x^2-\frac{2}{3}x^3+\cdots.$$ This will perhaps give nothing helpful. If you consider applying the derivative, $$f'(x)=2e^x-3x^2-3.$$ You can hardly find its zero-point, though there exists one root for $f'(x)=0$,say,$x_0=2.0715\cdots$ such that $f(x)$ reaches its minimum value,say, $$f(x)\geq f(x_0)=0.76990\cdots>0.$$ No es fácil obtener estos resultados sin equipo. Hay otra difícil solución para esto? Gracias de antemano.

Answer 1

Para $x\leq0$ es obvio.

Pero para $x>0$,

$$2e^x-x^3-3x >2\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}\right)-x^3-3x=$$ $$=\frac{1}{60}(x^5+5x^4-40x^3+60x^2-60x+120)=$$ $$=\frac{1}{60}\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\left(x^3+10x^2+\frac{15}{4}x\right)+\frac{5}{16}(52x^2-267x+384)\right)>0.$$ Estos coeficientes podemos obtener de la siguiente forma.

Por calculadora podemos conseguir que el polinomio $x^5+5x^4-40x^3+60x^2-60x+120$ $x\geq0$ obtiene un valor mínimo alrededor de $x=\frac{5}{2}.$

Ahora, vamos a elegir $a$, $b$ y $c$ tal que $$x^5+5x^4-40x^3+60x^2-60x+120=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2(x^3+ax^2+bx+c)+Ax^2+Bx+C,$$ $$x^3+ax^2+bx+c>0$$ and $$Ax^2+Bx+C\geq0$$ for $x\geq0.$

De hecho, tenemos $$x^5+5x^4-40x^3=\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)(x^3+ax^2+bx+c)+Dx^2+Ex+F,$$ lo que da el siguiente sistema: $$5=a-5,$$ $$-40=b-5a+\frac{25}{4},$$ which gives $a=10$ and $b=\frac{15}{4}.$

Ahora, sabemos que $$x^5+5x^4-40x^3+60x^2-60x+120-\left(x-\tfrac{5}{2}\right)^2\left(x^3+10x^2+\tfrac{15}{4}x+c\right)=Ax^2+Bx+C$$ y se queda elegir un valor de $c$, por lo que $$Ax^2+Bx+C>0$$ and we see that $c=0$ es válido.

Answer 2

Deje $f(x)=(x^3+3x)e^{-x}$. A continuación,$f(0)=0$$f(x)\to0$$x\to\infty$, lo $f$ tiene un máximo en el punto de $x$ donde $f'(x)=0$. Esto sucede cuando $3x^2+3=x^3+3x$, es decir, en la solución a

$$2=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$$

es decir, en $x=1+\sqrt[3]2$. Cálculo (hecho por ordenador) dice

$$f(1+\sqrt[3]2)=((1+\sqrt[3]2)^3+3(1+\sqrt[3]2))e^{-(1+\sqrt[3]2)}\approx1.9120322994\lt2$$

O usted necesita para ver que calulation hecho a mano?

Answer 3

Deje $f(x)=2e^x-x^3-3x$ definir una función $f:\mathbf R\to\mathbf R.$$f'(x)=2e^x-3x^2-3,f''(x)=2e^x-6x$$f'''(x)=2e^x-6$, luego tenemos que $f'^{v}(x)=2e^x>0\,\,\forall\, x.$ $f''$ es totalmente convexo. Es más mínima donde $f'''(x)=0,$ da $x=\log3.$ $f''\left(\log3 \right)=6\left(1-\log3\right)<0$ ya que claramente, $e<3$ $\log$ aumenta a medida $x\to\infty.$ por lo Tanto, $f''$ tiene exactamente dos raíces.

Ahora, $f''(0)=2>0$ $f''(1)=2(e-3)<0.$ por Lo tanto, una de las causas $r$$f''$$(0,1).$, $f''(2)=2(e^2-6)>0$ desde $e^2=(5/2+\varepsilon)^2>15/2,$ donde $1/6<\varepsilon<1.$ Así, la otra raíz de $s$ $f''$ $(1,2).$ por lo tanto, $r>0$ $s>0.$ Podemos concluir que los $f$ es convexa en a $(-\infty,r),$ cóncava en $(r,s)$ y convexo de nuevo en $(s,\infty),$ con inflexiones en $r$ $s.$

Al $x<0,$ es fácil ver que $f>0$; por lo tanto consideramos que $f$ $x\ge0.$ División este de dominio en $[0,2]$$(2,\infty).$, a Continuación, tenga en cuenta que como $x\to2^+, f'\to 2e^2-15>0$ (por el razonamiento acerca de las $e^2$ anterior). Además, como sabemos que $f''>0\,\,\forall\, x>s,$ se sigue que $f'$ de aumento en las $(2,\infty),$ desde $2>s.$ por lo Tanto $f'>0\,\,\forall\, x>2.$ a continuación, Se deduce que el $f$ de aumento en las $(2,\infty).$ Desde $x\to 2^+, f\to 2e^2-14>0$ (de nuevo por el razonamiento acerca de las $e^2$ anterior), tenemos que $f>0\,\,\forall\, x\in(2,\infty).$

Ahora consideraremos $f$ $[0,2]=I.$ está delimitada allí, ya que es totalmente continuo. Por lo tanto, alcanza su valor mínimo en $f'=0$ o en los extremos de $I.$ Nos muestran que lo que sea que este valor mínimo es, es positivo, por lo que (junto con la demostración por encima de ese $f>0$$x>2$) siempre que $x\ge0,$ debemos tener ese $f>0.$

Ahora, cuando $x=0,$ tenemos $f(x)=2>0.$ $x=2,$ tenemos $f(x)=2e^2-14>0$ nuevo. Para asumir el mínimo se produce cuando $f'=0$ lugar (ya que de lo contrario la prueba está completa). La función de $f'$ de aumento en las $(-\infty,r),$ disminuye en $(r,s)$ y aumenta de nuevo en $(s,\infty),$ con puntos de inflexión en $r$ $s$ (todos de esto se deduce de lo que hemos establecido sobre $f''$ anterior). Como también sabemos que $r>0$ $s>0,$ se sigue que, en la mayoría de los una de las causas de $f'$ puede ser negativo. Desde $f'$ de aumento en las $(-\infty,r)$ $r>0,$ debe ser en el caso de que $f'$ $y$intercepto en $(-\infty,r).$ Hecho en $x=0, f'(x)=2-3<0.$ Se desprende que ninguna de las raíces de la $f'$ $0.$ Además, podemos ver que $f'$ por lo tanto no tiene raíz en $(-\infty,0),$, de modo que todas sus raíces son positivos. La prueba se ha completado.