Cómo elevar un número a una potencia de cuaternión

Question

Ahora, sé que es (relativamente) fácil de calcular, digamos, $r^{a+bi}$ (utilizando el hecho de que, para $z_1, z_2\in \mathbb{C}, {z_1}^{z_2}=e^{z_2\ln(z_1)}$ y $\ln(z_1$ ) se puede encontrar simplemente utilizando: $\ln(a+bi)=\ln[\sqrt{a^2+b^2}]+i \cdot \arctan(\frac{b}{a})$ ).

De todos modos, ¿cómo podría calcular, por ejemplo, $i^j, k^i$ etc., o, más generalmente, $(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)^{a_2+b_2i+c_2j+d_2k}$ (Sé que la exponenciación de un número complejo (a otro número complejo no real) produce un resultado no único, así que asumo que lo mismo se aplicaría más arriba en la escala del hipercomplejo; si ese es el caso, sólo me preocupa el valor "principal")?

Obviamente, no quiero una fórmula general ni nada por el estilo; sólo una intuición y un método por el que pueda calcular tal cosa.

Y, por último (porque me gusta mucho tentar a la suerte), ¿se puede extender este método para los cuaterniones a sistemas numéricos superiores (es decir $\mathbb{O, S},$ etc.) para dar un resultado análogo?

Gracias

Answer 1

No tiene sentido tratar de generalizar la base $x$ de la exponenciación $x^y$ sea un cuaternión, puesto que ya para $x$ un número complejo (que no sea un real positivo) y un racional no integral $y$ no hay un significado natural único que dar a $x^y$ . (Por ejemplo $z^{2/3}$ podría interpretarse como la petición del cuadrado de una raíz cúbica de $~z$ o para la raíz cúbica de $z^2$ y en ambos casos no hay uno sino (los mismos) tres candidatos; un intento de forzar un único resultado, por ejemplo, fijando una raíz cúbica preferida para cada número complejo, haría que las dos interpretaciones difirieran con seguridad $~z$ .) De todos modos, si algo $x^y$ va a ser equivalente a $\exp(\ln(x)y)$ o $\exp(y\ln(x))$ (dándole alguna opción en caso de no conmutar) para algún significado de $\ln x$ . Así que todo el efecto de usar un extraño $x$ es multiplicar el exponente por una constante; es mejor escribir esa multiplicación explícitamente y ceñirse a la función exponencial $\exp$ .

No hay ningún problema en ampliar $\exp$ a una función $\Bbb H\to\Bbb H$ por la serie de potencia habitual. De hecho, todo cuaternión no real abarca una subálgebra real isomorfa a $~\Bbb C$ que será $\exp$ -estable, y restringido a ella $\exp$ se comportará igual que la función exponencial compleja. Por supuesto, sólo se puede esperar $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ para mantener si $\exp(x)$ y $\exp(y)$ conmutan, lo cual es esencialmente el caso cuando $x$ y $y$ se encuentran en el mismo subálgebra isomorfa a $~\Bbb C$ (y por lo tanto conmutar).

Answer 2

Veo un punto en la definición de $x$ al poder de $y$ en general $x$ y $y$ . Se trata del siguiente razonamiento.

El famoso Mandelbrot-Set para gráficos de ordenador tiene una iteración que puede generalizarse con resultados significativos.

Originalmente un Conjunto-Julia es generado por un criterio de no divergencia sobre algún número complejo $z_0$ con respecto a un parámetro complejo $c$ . Una serie

$$z_{k+1} = z_k z_k + c$$

se calcula como divergente o no divergente para $z_0$ dado. Siempre que $c$ se sustituye por el mapa de identidad en el plano euleriano, es decir

$$c(z_0) = z_0$$ ,

las cosas se simplifican y aparece la famosa cosa de Mandelbrot.

La multiplicación compleja tiene un útil mapeo cuadrado. Siempre que un exponente mayor que $2$ Por ejemplo $3$ , $4$ , $5$ o, lo que se quiera, se aplica, obtenemos un objeto de estudio significativo de una cosa general de Mandelbrot calculando la divergencia de

$$z_{k+1} = z_k \cdot z_k \cdot z_k \cdot\dots\cdot z_k + z_0$$

para $z_0$ alrededor de $0$ complejo.

Este objeto significativo tiene una apariencia de escala no trivial y una forma asombrosa, cómo las simetrías se asemejan a este exponente natural, utilizado. Este exponente natural propuesto, aumentado a grandes números, parece crear de alguna manera un fractal cada vez más parecido a un círculo en el plano complejo, con un límite circular interior y exterior y con un estrecho meandro de una curva fractal en medio.

Los cuarterones son lo último que sirve para estudiar este fractal-jazz. Algún dicho de Euler, que recuerdo citado, dice, sin embargo, que el camino más fácil hacia un problema real haría uso de modelos complejos. Las discusiones sobre la función zeta para un famoso problema milenario de Riemann podrían beneficiarse de los términos adecuados para alguna forma de eludir todas las particularidades de los modelos complejos puros, definiendo realmente todo lo que se necesita para trabajar con $x$ al poder de $y$ en general $x$ y $y$ .

Comentaré a la primera respuesta, si tengo 50 de reputación. De momento este texto debe formar parte de la respuesta a la pregunta original sobre los cuarterones. Así que, en resumen, la forma de elevar un número a una potencia de cuarternón, es en lo que significará para todos.