La comprensión de una definición de convergencia

Question

He estado tratando de entender la definición de convergencia, pero un pequeño detalle en la definición es que me moleste. El detalle es '$n \geq N$'

De modo que la definición que estoy usando es

$(a_{n}) \rightarrow a$ si para cada a $\epsilon>0 , \exists N \in \mathbb{N}$ de manera tal que siempre que $n \geq N$ se sigue que $|a_{n}-a|< \epsilon$

Así que en mi opinión parece una secuencia converge si usted puede elegir un punto en la secuencia s.t. después de este punto de la secuencia, la secuencia de quedarte en el interior de la epsilon barrio.

Sólo para permanecer concreto supongamos $a_{n}=\frac{1}{n}$

luego, cuando volví a mirar a "$\exists N \in \mathbb{N}$ s.t. siempre que $n \geq N$" me confundo.

Si yo escojo $\epsilon = \frac {1}{10}$ a Continuación, la secuencia está dentro de la epsilon barrio siempre $n>10$ e aquí mi pregunta es, ¿qué $n \geq N$ significa?

qué significa que esta $N$ es el índice ? así que tenemos que $a_{3}(n) \geq a_{2}(N)$

o es el significado de que el resultado que se obtiene cuando el plugin de número en la secuencia de lo que hemos $a_{2}(n) \geq a_{100}(N)$? debido a $1/2 \geq 1/100$?

Answer 1

Además el actual respuesta/comentario, que se confunde a sí mismo con el conflicto de la notación.

Dada la secuencia $a_{n} = 1/n$, entonces usted puede escribir $$ a_{3}(n) \geq a_{2}(N) \hspace{20pt}\text{y}\hspace{20pt} a_{2}(n) \geq a_{100}(N) $$ pero estos no tienen mucho sentido por su definición. En su lugar, usted tendría $$ a_{2} = 1/2, \hspace{20pt} a_{3} = 1/3, \hspace{20pt} \ldots, \hspace{20pt} a_{100} = 1/100 $$ y así sucesivamente, de modo que $$ a_{n} = 1/n \hspace{20pt}\text{y}\hspace{20pt} a_{N} = 1/N. $$ Cosas como $a_{2}(n)$ no se han definido y no tienen sentido en el momento, que es en parte se lleva a confusión.

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Para precisar un ejemplo, considere la secuencia de $a_{n} = 1/n$$a = 0$. Deje $\varepsilon = 1/10$. Claramente si usted escoge $N = 10$,$a_{10} = 1/10 \leq \varepsilon$, lo $a_{10}$ $\varepsilon$- ball (alrededor de $a = 0$). Así mismo, se $a_{11} = 1/11 \leq 1/10 = \varepsilon$, por lo que el $a_{11}$ también está dentro de la $\varepsilon$-ball. De hecho, todos los $a_{n}$ $n \geq N = 10$ se encuentra dentro de la $\varepsilon$-ball.

Lo que si $\varepsilon = 1/100$? A continuación, debemos recoger $N = 100$, de modo que todos los $a_{n}$ $n \geq N$ se encuentra dentro de la $\varepsilon$-ball. Es por lo general un poco de trabajo para determinar cómo $N$ depende de $\varepsilon$ (en este caso es simplemente que la $N = 1/\varepsilon$), pero una vez que usted puede demostrar que $N$ depende de $\varepsilon$ de alguna manera para que esa definición se mantiene, ha mostrado la convergencia.

Answer 2

$(a_{n}) \rightarrow a$ si para cada a $\epsilon>0 , \exists N \in \mathbb{N}$ de manera tal que siempre que $n \geq N$ se sigue que $|a_{n}-a|< \epsilon$

• primero escoge un (positivo) de margen de error, $\epsilon>0$;
• a continuación encontrará un índice $N$ tal que $|a_{n}-a|< \epsilon$ está satisfecho, al menos, para todos los índices de $n \ge N$.

Ahora, si usted puede encontrar un $N$, lo que puede depender de $\epsilon$, para cualquier positivos $\epsilon$ elegir, entonces decimos que la $(a_n)$ converge a $a$, es decir,$(a_{n}) \rightarrow a$.

qué significa que esta $N$ es el índice ?

Por lo $N$ desempeña el papel de un "límite de índice": la desigualdad de $|a_{n}-a|< \epsilon$ tiene que ser satisfechas para que todos los índices más allá de esto $N$. Si usted escoge un menor $\epsilon$, puede que necesite aumentar el $N$ respectivamente.

qué significa que esta $N$ es el índice ? así que tenemos que $a_{3}(n) \geq a_{2}(N)$

Esta notación es un poco raro: $a_n$, ya el $n$th elemento en la secuencia, ¿qué es $a_3(n)$...?

Answer 3

Para entender la definición y ser capaz de trabajar con ella de manera adecuada, puede ser muy útil el uso de un equivalente de definición que tiene una variable menos. Es decir, una secuencia $(a_n)$ converge a $a$ si para cada a $\epsilon>0$ hay un $N\in \mathbb N$ de manera tal que todos los términos $$ a_N, a_{N+1}, a_{N+2}, \ldots $$ están dentro de$\epsilon$$a$. Por lo tanto $\frac{1}{n}$ coverges a $0$ debido a que para cada una de las $\epsilon>0$, todos los términos de partida en el rango de $\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil$ será dentro de$\epsilon$$0$.