¿Por qué tomar la derivada logarítmica de una función generadora?

Question

Hoy, mi expedición de escalada ha escalado el Monte Sloane para solicitar la La amplia visión de Oracle sobre las secuencias . Los monjes nunca habían oído hablar de nuestra situación, así que inscribieron nuestra consulta en runas místicas en un papel y lo llevaron a una habitación en la que no se nos permitía entrar. El Supersabio, como lo llamaban, acabó respondiendo con un nuevo pergamino en el que figuraban (entre otros símbolos más conocidos) seis imponentes letras: LGDEGF.

"Función generadora exponencial derivada logarítmica", murmuraron los monjes al unísono mientras desentrañaba el pergamino, asintiendo y riéndose entre ellos. Pero, ¿qué es una cosa así? Se apresuraron a recitar que es una función $f$ tal que

$$\exp\biggl(\int f(x) \,dx\biggr) = \sum_n a_n \frac{x^n}{n!}$$

para mi secuencia $a_n$ y que la información del pergamino se refería a este $f$ pero se negaron a responder a más preguntas.

El equipo de mi expedición estaba bien versado en la ciencia básica de las funciones generadoras, las series de potencias ordinarias y las exponenciales. Pero, ¿por qué tomar la derivada logarítmica de cualquiera de las dos funciones generadoras podría dar información interesante o emocionante? ¿Dónde se encuentran en la naturaleza? Y lo que es más importante, ¿en qué parte de la literatura podemos aprender sobre ellas?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria de valor real. Entonces tenemos $$ \operatorname E(e^{tX}) = 1 + m_1 t + m_2 \frac{t^2} 2 + m_3 \frac {t^3} 6 + m_4 \frac{t^4}{24} + \cdots $$ y $m_k = \operatorname E(X^k)$ es el $k$ momento de la distribución de probabilidad de $X.$

El $k$ th central momento de la distribución es $\mu_k(X)=\operatorname E((X-m_1)^k).$ El momento central goza de las propiedades de invariancia de desplazamiento, lo que significa que $\mu_k(X+c) = \mu_k(X)$ para las constantes $c,$ y la homogeneidad, lo que significa $\mu_k(cX) = c^k \mu_k (X).$ Pero sólo cuando $k=2\text{ or }3$ goza de la propiedad de aditividad, lo que significa que si $X_1,\ldots, X_n$ son variables aleatorias independientes, entonces $\mu_k(X_1+\cdots+X_n) = \mu_k(X_1)+\cdots+\mu_k(X_n).$

Sin embargo, para cada $k\ge2$ hay un $k$ polinomio de primer grado en la primera $k$ momentos que tiene simultáneamente las tres propiedades. Se denomina $k$ ª cumulante. El cuarto cumulante es el cuarto momento central menos $3$ veces el cuadrado del segundo momento central. (Los cumulantes segundo y tercero son simplemente los momentos centrales segundo y tercero). Para $k\ge2,$ los cumulantes están totalmente caracterizados por esta descripción más la condición de que el coeficiente del $k$ momento es $1.$

Teorema: La función generadora exponencial de la secuencia de cumulantes (donde la $1$ La cumulante es $m_1$ tal y como se ha definido anteriormente, por lo que es equivariante de turno en lugar de invariante de turno como los cumulantes superiores) es el logaritmo de la función generadora exponencial de los momentos.

Answer 2

Para empezar, vamos a hablar de por qué es conveniente tomar el logaritmo de una función generadora exponencial. El punto de partida aquí es el fórmula exponencial una versión de la cual, a grandes rasgos, dice que si $A(x) = \sum a_n \frac{x^n}{n!}$ es la función generadora exponencial de estructuras de algún tipo (por ejemplo, gráficos) que tienen una descomposición en componentes conectados, entonces $\log A(x)$ es la función generadora exponencial de las estructuras conectadas (por ejemplo, los grafos conectados). Se trata de un resultado potente y general y tiene muchas aplicaciones, en ambos sentidos (tomando logaritmos y tomando exponenciales). Como ejemplo sencillo, la FGE para el número de formas de dividir un conjunto en subconjuntos con cardinalidades situadas en algún $S \subseteq \mathbb{N}$ es

$$\exp \left( \sum_{n \in S} \frac{x^n}{n!} \right).$$

La fórmula exponencial viene en una "forma cíclica" donde en lugar de pensar en $\log A(x)$ como una función generadora exponencial la escribimos en la forma $\sum b_n \frac{x^n}{n}$ ver esta entrada del blog para conocer todos los detalles. Esta versión de la fórmula exponencial implica, por ejemplo, que el EGF para el número de permutaciones en $S_n$ cuyos ciclos tienen cardinalidades situadas en algún $S \subseteq \mathbb{N}$ es

$$\exp \left( \sum_{n \in S} \frac{x^n}{n} \right).$$

Esta versión de la fórmula exponencial es más relevante para tomar derivadas logarítmicas ya que al tomar la derivada del logaritmo se elimina el factor de $n$ .

Hay mucho más que decir aquí, incluyendo una interpretación general de lo que significa componer funciones generadoras; para más información, véase la primera mitad de Combinatoria analítica .

Answer 3

Hay más de una forma de interpretar la derivada logarítmica. Una de ellas es que se trata de una transformada de secuencia relacionada con las recursiones de secuencia. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos secuencias con sus correspondientes funciones generadoras exponenciales $ A(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n/n!, \, B(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n/n! $ relacionados de tal manera que $\, A\,'(x) = A(x) B(x). \,$ Esto significa que $\, a_{n+1} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a_k b_{n-k} \,$ que es una recursión para la secuencia $\,a\,$ utilizando la convolución binomial con la otra secuencia $\,b.\,$ Otra forma de escribir la relación entre las funciones generadoras es que $\, B(x) = \log(A(x))'. \,$ Así, $\, B(x) \,$ es la derivada logarítmica de $\, A(x). \,$ Dando la vuelta a esto tenemos $\, A(x) = \exp\big(\int B(x)\, dx\big). \,$

Un ejemplo sencillo es el de Secuencia OEIS A000085 que es el número de permutaciones que son involuciones. Una recursión es $\, a_{n+1} = a_n + n\, a_{n-1} \,$ que corresponde a $\, b_0 = b_1 = 1. \,$ Así, la función generadora exponencial de la secuencia es $\, A(x) = \exp(x + x^2/2!). \,$

Otro ejemplo sencillo es el de Secuencia OEIS A182386 que está relacionado con los desprendimientos. Una recursión simple es $\, a_{n+1} = -(n+1)a_n + 1, \,$ pero más útil para nuestro propósito es la recursión $\, a_{n+1} = \sum_{k=1}^n {n \choose k} (-1)^k k! \, a_{n-k} \,$ lo que implica que la función generadora exponencial de la secuencia es $\, \exp(x)/(1+x). \,$

Answer 4

Una cosa que añadir a la excelente respuesta de Michael.

Una variable aleatoria $X$ (con todos los cumulantes) es normal si $\kappa_n(X)=0$ para todos $n\ge 3$ . Además, una secuencia de variables aleatorias $X_k$ (con todos los cumulantes) converge en su distribución a una distribución normal si $\kappa_n(X_k)\to 0$ para todos $n\ge 3$ .

En la práctica, esto es mucho más fácil de demostrar que demostrar que todos los momentos convergen a los momentos respectivos de una distribución normal.