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Demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos, más uno, es un cuadrado

Necesito ayuda con una Prueba:

Deje $m \in \mathbb{Z}$. Probar que si $m$ es el producto de cuatro enteros consecutivos, a continuación, $m+1$ es un cuadrado perfecto.

Traté de una prueba directa, donde me dijo:

Suponga $m$ es el producto de cuatro enteros consecutivos.
Si $m$ es el producto de cuatro enteros consecutivos, a continuación, escriba $m=x(x+1)(x+2)(x+3)$ donde $x$ es un número entero.
A continuación,$m=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x$.
La adición de $1$ a ambos lados nos da:
$m+1=x^4+6x^3+11x^2+6x+1$.

No estoy seguro de cómo proceder. Sé que se supone que para mostrar el $m$ es un cuadrado perfecto, así que de alguna manera debe mostrar que $m+1=a^2$ algunos $a\in\mathbb{Z}$, pero en este punto, no puedo alterar el lado derecho de la ecuación para obtener algo viable.

43voto

Marcus Aurelius Puntos 16

Por cierto, te refieres a $m+1 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1$.

Vamos a desglosarlo. Obviamente, usted necesita una ecuación cuadrática que, cuando se eleva al cuadrado, da a la anterior. ¿Cómo se puede construir esto? Se necesitan 3 números de $a, b, c$$ax^2 + bx + c$.

Mirando en el 4to grado las cosas de arriba, ¿qué me puedes decir acerca de la $a$, a la derecha del palo? ¿Qué acerca de la $c$? A continuación, puedes usar esto para decirles lo $b$ es?

(Me siento como yo no debería ir más allá porque quiero que resolver, pero déjeme saber si usted necesita una aclaración)

26voto

Artelius Puntos 111

Para conseguir una sensación para el problema, vamos a trabajar hacia atrás a partir de un número cuadrado. Tomar algunos entero $n$.

$n^2 - 1 = (n+1)(n-1).$

OK, por lo que se ve como $m$ tiene dos factores cuya diferencia es 2. Podría ser que en nuestro producto de números enteros consecutivos, el producto de dos de ellos es$n-1$, y la de los otros dos es $n+1$?

Vamos a lanzar en un simple ejemplo: $1\times2\times3\times4$. Observe cómo $1\times4=4$$2\times3=6$.

¿Qué acerca de la $2\times3\times4\times5$? Esta vez $2\times5=10$$3\times4=12$.

Se ve como el producto de la "exterior" de par es $n-1$ y el producto de la "inner pair" es $n+1$.

Ahora sabemos cómo atacar este.

Deje $k$ ser un número entero y $m=k(k+1)(k+2)(k+3)$.

$\begin{align} m &= k(k+1)(k+2)(k+3) \\ &= (k+1)(k+2)\times(k(k+3)) \ \text{ (collecting inner and outer terms)}\\ &= (k^2 + 3k + 2) \times (k^2 + 3k) \\ &= ((k^2 + 3k + 1) + 1) ((k^2 + 3k + 1) - 1) \\ &= (k^2 + 3k + 1) ^ 2 - 1 \qquad \text{ (since }(a+b)(a-b)=a^2-b^2\text{)}. \end{align}$

Desde $k$ es un número entero, $k^2 + 3k + 1$ es un número entero por lo $m+1$ es un cuadrado perfecto.

19voto

Bernard Puntos 34415

Escribir el producto de cuatro enteros consecutivos, comenzando en un $n-1$, por lo que $$m=(n-1)n(n+1)(n+2)+1,$$ y amplía: \begin{align} m&=(n^2-1)(n^2+2n)+1=n^2(n^2-1)+2n(n^2-1)+1 \\ &=(n^2-1)^2+2n(n^2-1)+\not 1+ n^2{-}\!\not1 \\ &= \bigl((n^2-1)+n\bigr)^2. \end{align}

11voto

Meltemi Puntos 1730

Escribí acerca de este problema en algunos de longitud en MathEducators StackExchange: MESE 10736.

Ver Parte II, hay varios enfoques tomados por los estudiantes (la mayoría de los cuales están cubiertos por otras respuestas aquí; pero la presentación es algo diferente).

Uno de los métodos mencionados no se trata de observar la simetría por encima de alrededor de $x= -3/2 = -1.5$, pero, a continuación, utilizar esto para informar a una sustitución: vamos a $z = x + 1.5$, de modo que tenemos:

$$x(x+1)(x+2)(x+3) = (z-1.5)(z-0.5)(z+0.5)(z+1.5) = (z^2 - 1.5^2)(z^2 - 0.5^2)$$

Tomando nota de que $1.5^2 = 2.25$$0.5^2 = 0.25$, se podría utilizar uno más de la sustitución de las $w = z^2 - 2.25$ a reescribir el final de la expresión anterior como $w(w+2) = w^2 + 2w$, a partir de la cual la adición de $1$ rendimientos $(w+1)^2$ como se desee. Ahora se puede reescribir en términos de sólo $x$ al finalizar los asuntos de fuera.

Creo que la idea de la simetría aquí es una importante comida para llevar; por cierto, el problema es que también se han abordado en un estudio exploratorio en el principio de Paul Zeitz (2006) el Arte y El Oficio de la Resolución de problemas como Ejemplo 1.2.1.

2voto

JSX Puntos 62

\begin{eqnarray*} m=n(n+1)(n+2)(n+3) =n^4+6n^3+11n^2+6n. \end{eqnarray*} Así \begin{eqnarray*} m+ 1 =n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2. \end{eqnarray*}

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