$T:V \rightarrow W$ de tal manera que $N(T)=V' \subset V$ y $R(T)=W' \subset W$

Question

¿Cómo se puede probar que existe un mapa lineal $T:V \rightarrow W$ de tal manera que $N(T)=V' \subset V$ y $R(T)=W' \subset W$ si $ \dim (V')+ \dim (W')= \dim (V)$ donde $V$ y $W$ son espacios vectoriales de dimensiones finitas?

Mi "respuesta" es sólo una suposición... Parece que está lleno de agujeros. ¿Qué te parece?

Answer 1

Elija una base $(b_1,..,b_k)$ para $V'$ y extender esto arbitrariamente a una base de $V$ digamos $(b_1,..,b_k,c_1,..,c_s)$ (asumió que $ \dim V'=k$ y $ \dim V=k+s$ ).

1. Compruébalo. $Tc_1,..,Tc_s$ son linealmente independientes,
2. y abarcan todo el $W'=\{w\, \mid\ , w=Tv$ para algunos $v \in V\}$ .

Ahora, si quieres un ejemplo concreto, considera cualquier matriz $A$ y la cartografía $v \mapsto A\,v$ .

Answer 2

Este es mi razonamiento:

---

Deje que $V$ y $W$ ser espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre $F$ . Deje que $A=\{a_1, \dots ,a_l\}$ ser una base para $V' \subset V$ que $B=\{a_1, \dots ,a_l,b_1, \dots ,b_m\}$ ser una base para $V$ que $C=\{c_1, \dots ,c_n\}$ ser una base para $W' \subset W$ y dejar que $D=\{c_1, \dots ,c_n,d_1, \dots ,d_p\}$ ser una base para $W$ . Así $N(T)=V'$ y $R(T)=W'$ significa que

\begin {eqnarray} T(a_1)&=&0+ \cdots +0 \\ T(a_2)&=&0+ \cdots +0 \\ \vdots\\ T(a_l)&=&0+ \cdots +0 \\ T(b_1)&=&k_{11}c_1+k_{21}c_2+ \cdots +k_{n1}c_n \\ T(b_2)&=&k_{12}c_1+k_{22}c_2+ \cdots +k_{n2}c_n \\ \vdots\\ T(b_n)&=&k_{n1}c_1+k_{n1}c_2+ \cdots +k_{nm}c_n, \end {eqnarray}

o simplemente

\begin {eqnarray} \begin {\a6}[Matriz] c_1&c_2& \cdots yc_n \end {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}Matrix}{\b1} \begin {\a6}[Matriz] 0& \cdots &0&k_{11}& \cdots &k_{n1} \\ \vdots && \vdots & \vdots && \vdots\\ 0& \cdots &0&k_{n1}& \cdots &k_{nm} \end {pmatrix}, \end {eqnarray}

que es un $(l+n) \times (l+m)$ matriz. Por lo tanto, tal $T$ existe y tiene la forma anterior.

---

Por lo que entiendo, estamos tratando con algo que se parece a esto:

Answer 3

$ \dim V'+ \dim W'= \dim V \implies\dim V'(=p, \text {say}), \dim W'(=q, \text {say}) \le\dim V(=n, \text {say})$

Deje que $\{v_1,v_2,...,v_p\}$ ser una base de $V'.$ Amplíe esto a una base $B=\{v_1,v_2,...,v_p,b_1,...b_q\}$ de $V.$

Considere una base $\{w_1,w_2,...,w_q\}$ de $W'.$

Defina $T':B \to W$ por $T(v_i)=0~ \forall ~i=1(1)p$ y $T(b_i)=w_i~ \forall ~i=1(1)q.$

$T'$ tiene una extensión única a una transformación lineal $T:V \to W.$

Verifique que $ \ker T=V'$ y $ \text {range }T=W'.$