Tanto cóncavas y convexas funciones

Question

Deje $f$ ser una función de$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}$, que es convexo y cóncavo y continua con $f(0)=0$. Cómo probar que $f(x)=q\cdot x$ todos los $x$$\mathbb{R}^n$, por un escalar $q$?

Me han mostrado $f(wx)=wf(x)$$w$$[0,1]$.

Answer 1

Tenemos para todos los $x,y\in\mathbb R^n$ y $\alpha\in [0,1]$: $f(\alpha x+(1-\alpha) y)=\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$. En particular, para $y=0$ tenemos que $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ $\alpha=\frac 12$ da $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Deje $\{e_j\}_{j=1}^n$ de la base canónica de $\mathbb R^n$. Para $x=\sum_{j=1}^nx_je_j$ hemos $$f(x)=f\left(\sum_{j=1}^nx_je_j\right)=\sum_{j=1}^nf(x_je_j).$$ El hecho de que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ implica que el $f(rx)=rf(x)$ todos los $r$ racional por la continuidad de $f(x_je_j)=x_jf(e_j)$ y finalmente poner el $v=(f(e_j))_{j=1}^n$.