La matriz consta de los cosenos de las diferencias

Question

Considere la siguiente matriz:

$$\left[\begin{array}{cccc} \cos(x_1-y_1) & \cos(x_1-y_2) & \ldots & \cos(x_1-y_n) \\ \cos(x_2-y_1) & \cos(x_2-y_2) & \ldots & \cos(x_2-y_n) \\ \cos(x_3-y_1) & \cos(x_3-y_2) & \ldots & \cos(x_3-y_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \cos(x_n-y_1) & \cos(x_n-y_2) & \ldots & \cos(x_n-y_n) \\ \end{array} \right]$$ con $x_k, y_k$ ser números reales. Realmente no puedo aplicar cualquier tipo de cálculo funcional, creo que, para obtener una forma cerrada de la fórmula para el determinante de esta matriz. Cualquier sugerencias o ideas de cómo proceder?

Answer 1

Que nos llame a $M$ la matriz inicial.

La respuesta es: si $n \geq 3$, $\det(M)=0$ .

La prueba es como sigue. Vamos

$$M_1=\begin{bmatrix}e^{ix_1}\\e^{ix_2}\\\vdots\\e^{ix_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{-iy_1}&e^{-iy_2}&\cdots&e^{-iy_n}\end{bmatrix}$$

Es un rango 1 de la matriz.

Por lo tanto, podemos escribir

$$M=\dfrac{1}{2}(M_1+\bar{M_1})$$

Por lo tanto, como la suma de dos rank 1 matrices de rango$(M)\leq 2$.

Nota: si $n=1$ o $n=2$, uno tiene en general $\det(M)\neq 0$.