¿Cuál es el producto tensor de $L^p(\bf R)$$L^q(\bf R)$?

Question

Me pregunto: ¿Cuál es el producto tensor de $L^p({\bf R})$$L^q({\bf R})$?

(Para p=q=2, la respuesta claramente debería ser $L^2({\bf R}^2)$; para otros valores de $p$$q$, no es en absoluto evidente para mí lo $L^p({\bf R})\otimes L^q({\bf R})$ como debe ser.)

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, hay muchos de Banach tensor de productos, pero, de hecho, hay al menos uno que funciona muy bien para $L^p\otimes L^p$.

En general, la algebraicas producto tensor $X\otimes Y^*$ puede ser identificado con rango finito operadores de$Y$$X$. Al $X=Y=L^2(\mathbb{R})$, teniendo la finalización de Hilbert-Schmidt norma le da el espacio de Hilbert-Schmidt a los operadores en $L^2(\mathbb{R})$, que puede ser identificado con $L^2(\mathbb{R}^2)$.

Del mismo modo, el espacio de $q$-la suma de los operadores de$L^p(\mathbb{R})$$L^q(\mathbb{R})$, cuando se $p^{-1} + q^{-1} = 1$, puede ser identificado con $L^p(\mathbb{R}^2)$. (No tengo la referencia a mano, y no recuerdo cuánto se generaliza; me voy a revisar y actualizar más tarde.)

Añadido posterior: no sé si el comentarista anónimo todavía está alrededor, pero aquí es la referencia.