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Demostrar que hay k enteros consecutivos no libres de cuadrados

Así que tengo una pregunta para la clase que me pide que demuestre la existencia de tramos arbitrariamente largos de números enteros consecutivos donde $\mu(n)$ es cero.

He empezado la prueba, pero necesito un poco de ayuda a mitad de camino.

Supongamos que existe un recorrido de longitud n, que actualmente suponemos que es la cadena más larga posible.

Si inducimos sobre n, podemos suponer que existe una carrera de la forma $m_1p_1^2, m_2p_2^2, ..., m_np_n^2$ (donde cada uno de los $p_i$ son primos).

Si añado $M = lcm(m_1p_1^2, m_2p_2^2, ..., m_np_n^2)$ a cada número, obtengo otra tirada de longitud n.

Así que aquí es donde empieza el problema. Cuando hablé con mi asesor al respecto, se refirió a un teorema en el que existe un primo $p$ congruente con $1\ mod\ M$ .

No estoy familiarizado con este teorema, así que no estoy seguro de cómo utilizar esta información. ¿Hay alguna posibilidad de que me ayuden? O bien, ¿hay una forma más sencilla de abordar este problema?

5voto

vadim123 Puntos 54128

Solución más sencilla: buscamos $n$ para satisfacer todo lo siguiente:

$$n\equiv 0\pmod{p_1^2}$$

$$n+1\equiv 0\pmod{p_2^2}$$

$$n+2\equiv 0\pmod{p_3^2}$$

$$\vdots$$

$$n+k\equiv 0\pmod{p_k^2}$$

Ahora utiliza el Teorema del resto chino .

3voto

Gudmundur Orn Puntos 853

Hay dos teoremas relevantes en juego. Un teorema que garantiza un primo congruente con $1 \bmod M$ es Teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas que dice que mientras $x$ y $y$ son coprimas, entonces la secuencia $x + ny$ como $n$ aumenta contiene infinitos primos.

El segundo teorema en juego es el Teorema chino del resto que permite saltarse la inducción y demostrar directamente el resultado.

0voto

sewo Puntos 58

En lugar de la inducción, ¿qué tal si utilizamos el Teorema Chino del Resto para encontrar un número que sea $n$ modulo $(p_n)^2$ para $1\le n\le k$ ?

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