Resolver el límite de las integrales de $\lim\limits_{q \to 0}\int_0^1{1\over{qx^3+1}} \, \operatorname{d}\!x$

Question

¿cómo puedo resolver esto?

$$\lim_{q \to 0}\int_0^1{1\over{qx^3+1}} \, \operatorname{d}\!x$$

Traté de sustituir $t=qx^3+1$ que no trabajo, y re-escribiendo como $1-{qx^3\over{qx^3+1}}$ y, a continuación, sustituir, pero no he podido conseguir.

Gracias de antemano!

Answer 1

Para cualquier $q>0$, $$\frac{1}{q+1} = \int_0^1\frac{1}{q\cdot 1+1}\,\mathrm{d}x\leq\int_0^1\frac{1}{qx^3+1}\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1\frac{1}{q\cdot 0+1}\,\mathrm{d}x = 1.$$ Para cualquier $q\in(-1,0)$, $$1 = \int_0^1\frac{1}{q\cdot 0+1}\,\mathrm{d}x\leq \int_0^1\frac{1}{qx^3+1}\,\mathrm{d}x\leq \int_0^1\frac{1}{q\cdot 1+1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{q+1}.$$

Por lo tanto, el límite de $q\to 0$$1$.

Answer 2

Trate de sustituir a $t=q^{1/3}x$. O, usted puede poner el límite en el interior de la integral definida en el primero (el camino fácil)