Cuántos números primos permanecer inerte en un número finito (no cíclico) la extensión de los campos de número?

Question

En el siguiente suponer que L/K es finita de Galois de la extensión de los campos de número, (tal vez se trabaja para otros casos también, no sé) Por el Chebotorev densidad teorema cuando Gal(L/K) es cíclico, hay una infinidad de números primos en K que permanecer inerte durante esta extensión (cf Janus p136, Algerbaic Número de Campos). Si L/K es no cíclico, un ejercicio de Neukirch (en algún lugar en el Cap I) dice que hay en la mayoría de un número finito de números primos que permanecer inerte. Quiero decir que no hay ninguno. La razón es por una descripción del ciclo de Jano, p101, la Proposición 2.8,

En resumen, que la proposición dice que cuando $\delta:=Frob(\frac{L/K}{\beta})$, $\beta|p$ es una de las principales en L, considere la posibilidad de $\delta$ ley sobre la cosets de H en G, H=Gal(L/E), $K\subset E\subset L$, luego de cada ciclo de la longitud que corresponde a un factor principal en el Correo con el residuo de grado i. En particular, para inerte chicos queremos que sólo hay un ciclo en la acción. Cuando tomamos H triviales, E=L es de Galois sobre K, y los cosets son sólo los elementos de G a sí mismos. Así que queremos que exista un elemento (el Frobenius elemento que está por encima p) ley de transitivamente en G, por lo tanto G es cíclico.

Me pregunto si esto es cierto, entonces, más gente debería haber sido consciente de ello. Si es que no, hay un contador de ejemplo?

Answer 1

Si $L/K$ es finita, Galois de la extensión de los campos de número tal que $Gal(L/K)$ no es cíclico, entonces no primos de K permanece inerte L. de Hecho, uno siempre tiene un isomorfismo $D_p/I_p\cong Gal(L_p/K_p)$ de la Descomposición grupo modulo de la Inercia del grupo con el grupo de Galois de los residuos correspondiente extensión de campo. El último grupo es el grupo de Galois de una extensión finita de campos finitos, por lo tanto es cíclico. Si el primer p fueron a permanecer inerte en L, entonces, por definición, la Inercia del grupo sería trivial y la Descomposición grupo sería de $Gal(L/K)$. Pero esto significaría que el $L/K$ fue un cíclica de la extensión de una contradicción.

[Editar] no puedo dejar de mencionar un lindo aplicación de este. Deje $n$ ser cualquier entero positivo para el cual $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ no es cíclico. A continuación, el cycotomic polinomio $\Phi_n(x)$ es reducible modulo $p$ por cada racional prime $p$. En efecto, supongamos que $p$ es un racional principal para que $\Phi_n(x)$ es irreductible modulo $p$. Luego por la Dedekind-Kummer teorema, $p$ es inerte en el cyclotomic campo $\mathbb{Q}(\zeta_n)$. Entonces el grupo de Galois de los residuos de la clase de extensión de campo, que es cíclica, es isomorfo a la Descomposición del grupo, que en este caso es $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$. Pero el último grupo no es cíclico - contradicción. Por lo tanto $\Phi_n(x)$ es reducible modulo $p$ para todos racional de los números primos $p$.

Answer 2

¿"Inerte" significa que sólo hay uno prime sobre $p$, o qué significa que sólo hay uno prime sobre $p$ y que el primer es unramified? Como las otras respuestas han explicado, unramified de los números primos, no puede permanecer inerte. Sin embargo, es posible que no sólo es el primer largo de $p$. Por ejemplo, supongamos $p$ ser un extraño prime, tome $K = \mathbb{Q}$ $L= \mathbb{Q}(\sqrt{p}, \sqrt{a})$ donde $a$ no es un residuo cuadrático módulo $p$.

Answer 3

Vale la pena señalar que si $L/K$ es abelian, entonces usted puede ver fácilmente, usando el campo de clase de teoría, que no cíclico extensión puede tener inerte de los números primos: el grado de inercia de un prime es el orden de es Frob en el grupo de clase.