Como usted ya sabe, los elementos del grupo de Galois son exactamente: $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} w \mapsto w, w \mapsto w^2, w \mapsto w^4, w \mapsto w^5, w \mapsto w^7, w \mapsto w^8$. $w \mapsto w^2$ es un generador, y hemos
$$
w \mapsto w^2 \mapsto w^4 \mapsto w^8 \mapsto w^7 \mapsto w^5 \mapsto w.
$$
Así que estamos buscando los campos fijos de $w \mapsto w^4$ e de $w \mapsto w^8 = w^{-1}$.
El campo fijo de $\boldsymbol{\sigma: w \mapsto w^{-1}}$
Como usted ha observado, $\alpha = w + w^{-1}$ es fijo por $\sigma$ y satisface
$$
\alpha^3
= w^3 + w^{-3} + w^1 + w^{-1}
= (w^6 + 1)/(w^3) + \alpha
= \alpha - 1
$$
Desde $\alpha^3 - \alpha + 1$ es irreducible sobre $\Q$, el deseado de campo fijo es $\Q(\alpha) = \Q(w + w^{-1})$.
El campo fijo de $\boldsymbol{\tau: w \mapsto w^4}$
$\beta = w^3$ satisface $\beta^2 + \beta + 1$, que es irreducible sobre $\Q$ grado $2$. Así el deseado de campo fijo es $\Q(\beta) = \Q(w^3)$.
Un Comentario
Los generadores de un subcampo puede llegar a ser muy simple: en nuestro caso $w + w^{-1}$$w^3$. Pero, ¿cómo encontrarlos?
La primera cosa a hacer es tratar de buscar un único plazo o dos términos que se agregan juntos que se fija bajo la automorphism en cuestión. En nuestro caso, $w^3$ es un término simple para que usted habría encontrado rápidamente; $w + w^{-1}$ no tomaría mucho más tiempo.
Como alternativa, especialmente si el primer método no funciona, usted puede escribir un arbitrario $z \in \Q(w) / \Q$$z = a w^5 + b w^4 + c w^3 + d w^2 + e w + f$, establezca manualmente $\sigma(z) = z$ y, a continuación, resolver ecuaciones en $a, b, c, d, e, f$. Usted tendrá que usar el polinomio mínimo de a $w$ (o, en general, el polinomio mínimo para un generador de cualquier extensión que usted está considerando) para simplificar potencias de $w$ sobre $w^5$, y, a continuación, equiparar cada coeficiente de $w^0, w^1, \ldots, w^5$. Esto le dará un conjunto de cosas fijado por la autorphism, y el escoger de una lista de este tipo de $a, b, c, d, e, f$ posibilidades son buenas que usted conseguirá un generador de campo deseado.
Una Segunda Observación
Este método debería funcionar siempre, aunque podría ser más tedioso.
Dicen que tiene una extensión de $F(\alpha) / F$ grado $n$ con grupo de Galois $G$.
En primer lugar, enumerar todos los automorfismos de la extensión por parte de casos en donde envían $\alpha$, y el uso de ellos
para clasificar el grupo de Galois $G$.
A continuación, enumerar los subgrupos, y para cada subgrupo de $H$, buscar elementos $z \in F(\alpha)$
que son fijados por $H$.
Una vez que usted tiene un elemento $z$$[F(z) : F] = [G : H] = n / |H|$, usted sabe que
$z$ genera la extensión correspondiente.
Esto funciona para cualquier $H$; $H$ no necesita ser normal en $G$.
Para una extensión de Galois $K / F$ grupo $G$ el tamaño de un subgrupo de $H$
siempre es igual el grado $[K : E]$ donde $E$ es el campo fijo de $H$.
En otras palabras, el número de automorfismos de a $K / F$ fijación $E$ es igual el grado de $K / E$.
Equivalentemente, $\boldsymbol{K/E}$ es de Galois para cualquier $H$.
Lo que la normalidad de $H$ corresponde es que el no $\boldsymbol{E / F}$ es de Galois, es decir, que el número de automorfismos
de $E / F$ fijación $F$ es igual el grado $[E : F]$.
En este caso, el grupo de Galois de $E / F$ es el cociente del grupo de $G / H$.
Un buen ejemplo es la extensión de $K / \Q$ donde $K$ es la división de campo de la $x^3 - 2$.
Si $\omega$ es una raíz cúbica de la unidad, el subextensions son generados por
$\omega, \sqrt[3]{2}$, $\omega \sqrt[3]{2}$, y $\omega^2 \sqrt[3]{2}$,
y tiene grado 2, 3, 3 y 3, respectivamente, en $\Q$.
El grupo de Galois es $S_3$ y los correspondientes subgrupos son
de índice 2 (normal), índice 3 (no normal), índice 3 (no es normal), y el índice 3 (no normal), respectivamente.
Por lo que el índice del subgrupo siempre es igual el grado de la extensión.
La normalidad no tiene en cuenta a menos que considere la posibilidad de la automorphism grupo de subextension en lugar de
el subgrupo de fijación.
