Recursión sobre ordinales

Question

Tengo una especie de pregunta de "deberes". Tengo el siguiente teorema:

Teorema (Recursión transfinita sobre la clase de los ordinales $\mathbf{ON}$ : Sea $\mathbf{V}$ sea la clase de todos los conjuntos. Si $\mathbf{F} : \mathbf{V} \to \mathbf{V}$ entonces existe un único $\mathbf{G} : \mathbf{ON} \to \mathbf{V}$ tal que para todo $\alpha$ $\mathbf{G}(\alpha) = \mathbf{F}(\mathbf{G}|_{\alpha}))$ .

Ahora quiero demostrar que si $\hat{x} = \{y : y < x\}$ y si $\mathbf{F} : \mathbf{V} \to \mathbf{V}$ y $(X, <)$ es un bien ordenado entonces existe una función $f$ con dominio $X$ tal que $f(x) = \mathbf{F}(f|_{\hat{x}}$ .

Así que dejé $0 = \text{min}(X)$ y luego observo que quiero $f(0) = \mathbf{F(\emptyset})$ . Sigo así y observo que $f(1) = \mathbf{F}(f(0))$ y así sucesivamente. ¿Es esto correcto? Si es así, ¿puede alguien darme una pista de cómo aplicar el teorema anterior para decir que esta construcción funciona?

Answer 1

Si puedes utilizar el teorema de recursión transfinita que has enunciado, ¿por qué no aplicarlo simplemente a $F$ y luego utilizar un isomorfismo entre $X$ y algún ordinal para transferir la función $G$ de $ON$ a $X$ ? Parece como si estuvieras intentando refutar el teorema de la recursividad transfinita en lugar de simplemente aplicarlo.