Es $A + A^{-1}$ siempre es invertible?

Question

Deje $A$ ser una matriz invertible. A continuación, se $A + A^{-1}$ invertible para cualquier $A$?

Tengo una corazonada de que es falso, pero realmente no puede encontrar una manera de demostrarlo. Si vas a dar un contraejemplo, podría por favor explicar cómo llegó a la contraejemplo? Gracias.

Esto no es HW, y realmente no tengo ningún trabajo para mostrar.

Answer 1

Deje $A=[i]{{{{{{{{{}}}}}}}}}$.

Answer 2

Como las otras respuestas muestran que la respuesta es no. Sin embargo, si $A$ es simétrica es cierto (Hermitian en el caso complejo): Vamos a $A$ tiene autovalores $a_i$, y tenga en cuenta que $A+A^{-1}$ tiene los autovalores $a_i + a_i^{-1}$. Estos son cero si y sólo si $a_i^2 = -1$. Pero esto no es posible ya $a_i$ es real. Por lo tanto $A + A^{-1}$ es invertible.

Answer 3

Hay un número complejo $i\ne0$ con la propiedad de que $i+i^{-1}=0$, o puesto de otra manera $i^2+1=0$. Se comporta exactamente igual que $$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},$$ una rotación por $\pi/2$.