fracciones

Question

Me pregunto si el siguiente enunciado es verdadero: Vamos a $p$ $q$ ser de dos números primos (o, más generalmente, deje $p$ $q\neq 0$ ser enteros con $\gcd(p,q)=1$). A continuación, para todos los $\varepsilon >0$ existe una $n$ $m$ $\mathbb{N}$ tal que $$\Bigg|\frac{p^n}{q^m}-1\Bigg|<\varepsilon.$$

Intuitivamente, al menos, estoy convencido de que este debe ser cierto. También experimentalmente se parece sostener. Es este un resultado conocido? Si es así, sugerencias sobre cómo mostrar este son bienvenidos.

Answer 1

Preguntar si para todos los $\varepsilon>0$ hay $m,n$ tal que $\left|\frac{p^n}{q^m}-1\right|<\varepsilon$ es equivalente a preguntar si para todos los $\varepsilon>0$ hay $m,n$ tal que $\left|n\log(p) - m\log(q)\right|<\varepsilon$, o, si se prefiere, de tal manera que $\left|\frac{\log(p)}{\log(q)} - \frac{m}{n}\right|<\frac{\varepsilon}{n}$ ($\varepsilon$ es diferente en los tres casos, pero el $\forall\varepsilon$ declaraciones son equivalentes). Esto, a su vez, deriva de la irracionalidad de la $\frac{\log(p)}{\log(q)}$ y un conocido por el teorema de Dirichlet (o un estándar de hecho en fracciones continuas), relativa a la aproximación de irrationals por racionales.

(Soy de bosquejar la prueba ya que estaban pidiendo una sugerencia.)