raíz cuadrada de matriz simétrica y transposición

Question

Tengo una matriz simétrica A. ¿Cómo puedo calcular una matriz B tal que $B^tB=A$ donde $B^t$ es la transposición de $B$ . No puedo averiguar si esto está relacionado con la raíz cuadrada de $A$ .

He revisado los enlaces de wikimedia de la raíz cuadrada de una matriz.

Answer 1

Como dice J. M., necesitas tu matriz $A$ sea positiva definida. Dado que $A$ Al ser simétrico, siempre es diagonalizable, lo que equivale a decir que tiene valores propios no negativos. Si este es el caso, se puede adaptar el comentario de alex casi literalmente para el caso real: como hemos dicho, $A$ es diagonalizable, pero, además, existe una base ortonormal de vectores propios de $A$ . Es decir, existe una matriz invertible $S$ y una matriz diagonal $D$ tal que

$$D = SAS^t , \quad \text{with} \quad SS^t = I \ .$$

Desde

$$D = \mathrm{diag} (\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_n) \ ,$$

es una matriz diagonal y sólo tiene valores propios no negativos $\lambda_i$ se puede tomar su raíz cuadrada

$$\sqrt{D} = \mathrm{diag} (\sqrt{\lambda_1}, \sqrt{\lambda_2}, \dots , \sqrt{\lambda_n} ) \ ,$$

y luego, por un lado, tienes:

$$\left( S^t \sqrt{D} S \right)^2 = \left( S^t \sqrt{D} S\right) \left(S^t \sqrt{D} S \right) = S^t \left( \sqrt{D}\right)^2 S = S^t D S = A \ .$$

Por otro lado, $S^t \sqrt{D} S$ también es una matriz simétrica:

$$\left( S^t \sqrt{D} S \right)^t = S^t (\sqrt{D})^t S^{tt} = S^t \sqrt{D^t} S = S^t \sqrt{D} S \ ,$$

para que tengas tu $B = S^t \sqrt{D} S$ tal que $B^t B = A$ .

Answer 2

Lo que aparentemente se quiere aquí es la descomposición de Cholesky, que factoriza una matriz A en $BB^T$ donde $B$ es una matriz triangular. Sin embargo, esto sólo funciona si tu matriz es definida positiva.