Posibles Duplicados:
Calcular el límite: $\lim_{n\rightarrow\infty} e^{-n} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}$Quiero calcular los siguientes:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( e^{-n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{n^i}{i!} \right) $$
Cálculos numéricos mostrar que tiene un valor cercano a 0.5. Pero yo no soy capaz de derivar este analíticamente. Mi problema es que me falta una metodología de manejo de la $n$ tanto como límite de una suma y una variable en la ecuación.
Respuestas
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Chris Farmiloe
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Así, podemos deshacernos de $e^{-n}$ bastante facilidad, pero no es eso lo que debe hacer.
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} e^{-n} \sum_{i=0}^n \frac{n^i}{i!} $$
Hay algo que se llama a la Función Gamma Incompleta. Satisface:
$$ \frac{\Gamma(n+1, n)}{n! e^{-n}} = \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}$$
Sustituto:
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} e^{-n} \frac{\Gamma(n+1, n)}{n! e^{-n}} $$
Deshacerse de $e^{-n}$: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\Gamma(n+1, n)}{n!} $$
Ahora, ¿qué? Bien hacer una sustitución: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\Gamma(n+1, n)}{\Gamma(n+1)} = \frac{1}{2}$$
(Tenga en cuenta que la siguiente prueba podría ser incorrecta, a pesar de que mi CAS está de acuerdo con el resultado y creo que lo es).
Para mostrar esto, hay una identidad que $\Gamma(a, x) + \gamma(a, x) = \Gamma(a) $, lo $\Gamma(a, x) = \Gamma(a) - \gamma(a, x)$. Ahora encontrar: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\Gamma(n+1) - \Gamma(n+1,x)}{\Gamma(n+1)} $$
$$ 1 - \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\Gamma(n+1,x)}{\Gamma(n+1)} $$
Pero este es el mismo como nuestro otro límite. Si tenemos: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\Gamma(n+1,x)}{\Gamma(n+1)} = L $$
Entonces: $$ 1 - L = L $$
Así: $$ 1 = 2L $$ $$ \frac{1}{2} = L $$
No quiero poner esto como mi propia solución, pues ya he visto lo resuelto en el MSE.
Es una forma de utilizar la suma de Poisson RVs con el parámetro 1, por lo que el $S_n=\sum_{k=1}^{n}X_k, \ S_n \sim Poisson(n)$ y, a continuación, aplicar el Teorema del Límite Central para obtener el $\Phi(0)=\frac{1}{2}$.
La otra solución es puramente analítica y detallada en el documento de Laszlo y Voros(1999) llama "En el Límite de una Secuencia'.
