La prueba de $\sum^{2N}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \sum^{N}_{n=1} \frac{1}{N+n}$

Question

El título prácticamente resume mi pregunta. Estoy tratando de probar lo siguiente: $$\displaystyle \forall N \in \mathbb{N}: \sum^{2N}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \sum^{N}_{n=1} \frac{1}{N+n}.$$

He intentado probar esto mediante la inducción. Comenzando con el caso base $N = 1$:

$$\displaystyle \sum^{2}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \frac{1}{1} + \frac{-1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1+1} = \sum^{1}_{n=1} \frac{1}{N+n}.$$

Mi problema es el inductivo paso para $N+1$, empezando con

$$\displaystyle \sum^{2(N+1)}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \sum^{N+1}_{n=1} \frac{1}{(N+1)+n}.$$

Y ahora mi problema:

\begin{align} \sum^{2(N+1)}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} &\Leftrightarrow \sum^{2N}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \sum^{2}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \\[1em] &\underset{\Leftrightarrow}{\text{ind. hyp.}} \sum^{N}_{n=1} \frac{1}{N + n} + \sum^{2}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \end{align}

Es este el inicio correcta, y si es así, ¿cómo puedo seguir?

Answer 1

Reclamo: Para todos los $n\geq 1$, la declaración de $$ P(n) : \sum_{i=1}^{2n}\frac{(-1)^{i-1}}{i}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i} $$ es cierto.

---

Nota: La clave para dar una prueba inductiva aquí reside en la comprensión de cómo indexar una suma; es decir, el principal obstáculo que enfrentan en el uso de la hipótesis inductiva es darse cuenta de cómo coaxial $\sum_{i=1}^k\frac{1}{k+i}$$\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{(k+1)+i}$. Para ello, primero observar el siguiente: $$ \sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{(k+1)+i}=\sum_{i=2}^{k+2}\frac{1}{k+i}=\sum_{i=1}^k\frac{1}{k+i}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+(k+2)}+\frac{1}{k+(k+1)}.\tag{$\dagger$} $$ Ahora observe que el $(\dagger)$ puede escribirse como $$ \sum_{i=1}^k\frac{1}{k+i}=\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{(k+1)+i}+\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{2k+1}.\tag{$\dagger\!\dagger$} $$ Con todo esto en mente, podemos probar la reclamación original.

---

Prueba. Para la base, paso, debemos confirmar que $P(1)$ es verdadero, algo que ya han hecho. Por lo tanto, el caso base de los cheques.

Inductivo paso $P(k)\to P(k+1)$: Corregir algunos $k\geq 1$. Suponga que $$ P(k) : \color{verde}{\sum_{i=1}^{2k}\frac{(-1)^{i-1}}{i}=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{k+i}} $$ sostiene. Se ha demostrado es que $$ P(k+1) : \color{blue}{\underbrace{\sum_{i=1}^{2(k+1)}\frac{(-1)^{i-1}}{i}}_{\text{LHS}}=\underbrace{\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{(k+1)+i}}_{\text{RHS}}} $$ de la siguiente manera. Comenzando con el lado izquierdo de $P(k+1)$, \begin{align} \text{LHS} &= \color{blue}{\sum_{i=1}^{2(k+1)}\frac{(-1)^{i-1}}{i}}\tag{definition}\\[1em] &= \color{green}{\sum_{i=1}^{2k}\frac{(-1)^{i-1}}{i}}-\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{2k+1}\tag{by defn. of %#%#%}\\[1em] &= \color{green}{\sum_{i=1}^k\frac{1}{k+i}}-\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{2k+1}\tag{by %#%#%}\\[1em] &= \left(\color{blue}{\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{(k+1)+i}}+\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{2k+1}\right)-\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{2k+1}\tag{%#%#%}\\[1em] &= \color{blue}{\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{(k+1)+i}}+\frac{1}{k+1}-\frac{2}{2k+2}\tag{simplify}\\[1em] &= \color{blue}{\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{(k+1)+i}}\tag{%#%#%}\\[1em] &= \text{RHS}\tag{definition} \end{align} uno llega al lado derecho de la $\Sigma$, demostrando $P(k)$ también es cierto, completando el paso inductivo.

Conclusión. Por inducción matemática, se ha demostrado que para $\dagger\!\dagger$ la declaración de $k\neq -1,-1/2$ es cierto. $P(k+1)$

Answer 2

En lugar de inducción, se puede comenzar con

$\displaystyle \sum_{n=1}^{2N}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{2N}\frac{1}{n}-2\sum_{k=1}^N\frac{1}{2k}=\sum_{n=1}^{2N}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}$

Answer 3

usted puede encontrar que es más fácil notar que $$ S=\sum_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1}\frac1{n} = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac1{2n-1} - \frac1{2n} \right) $$ para entonces: $$ S+\sum_{n=1}^{N} \frac1{n} = \sum_{n=1}^{2N} \frac1{n} = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac1{n}+\frac1{N+n} \right) $$