El teorema de Furstenberg, mostrando que no existe una infinidad de números primos (y variantes, incluyendo aquellos quitando la topológico lado de las cosas) ha sido discutido varias veces sobre el MSE, por ejemplo, en esta pregunta.
Para mayor claridad dejar que me siga el papel de Mercer en el Mensual que se establece como :
- Reivindicación 1. De un número finito de intersección de las Progresiones Aritméticas o está vacío infinito.
- Reivindicación 2. Si S es cualquier colección de conjuntos, luego de un número finito de intersección finita uniones de conjuntos en S es también una unión finita finita intersecciones de conjuntos en S.
- Reivindicación 3. Si $p_1$,...,$p_n$ eran todos primos, a continuación, desde la intersección finita de la no-múltiplos es un elemento del conjunto, se llegaría a una contradicción (es decir, es un hecho que $\{-1;1\} =$ $NM(p_1) \cap\dots\cap NM(p_n)$, donde $NM(p_i):=$ $(1+p_i\mathbb{Z})\cup\dots\cup ((p_i-1)+p_i\mathbb{Z})$).
Ahora, sin duda, la siguiente está mal (de lo contrario, ¿cómo en la tierra no ha sido encontrado antes), pero vamos a intentar aplicar esto para mostrar la existencia de una infinidad de los números primos gemelos.
Supongamos
- que existe una infinidad de números primos $p_1,p_2,\dots$
- que sólo existe un número finito de pares de gemelos de los números primos, decir $(q_1;q_1+2),\dots,(q_m;q_m+2)$, donde para cada una de las $i$ existe alguna $j=j(i)$ tal que $q_i=p_j$.
Pero entonces, tenemos que $\{-1;1\} =$ $NM(q_1+2) \cap\dots\cap NM(q_m+2)$ ya que todas las $q_i+2$ son primos. Una contradicción tan bien, es decir, de los números primos de la forma $q_i+2$ debe ocurrir infinidad de veces, demasiado (de hecho, de cualquier forma $q_i+2k$, por la misma razón).
Pregunta: ¿podría alguien por favor señale dónde está la falla en este razonamiento? (Se siente como que hay hueco en la derecha de la lógica en la final, pero no puedo expresarlo.)
Gracias!
