Encuentre el mayor valor de $x$ para lo cual $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z$ .
Lo que hice fue restar el RHS, para obtener $$x^2 - x + y^2 - y + z^2 - z = 0$$
$$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - y + \frac{1}{4} + z^2 - z + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
$$(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{1}{2})^2 + (z-\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$$
Por tanto, la ecuación dada puede reescribirse como la fórmula de una esfera centrada en $(x,y,z) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ con un radio de $\frac{\sqrt3}{2}$ .
Ahora para $x$ para estar en su mayor valor, eso significaría $y = z = \frac{1}{2}$ (¿verdad?).
Y si eso es cierto, entonces $\boxed{x = \frac{\sqrt{3}+1}{2}}$ .
Por favor, indíqueme si estoy en lo cierto, y si no, ayúdeme a entender cómo conseguir la respuesta correcta. Gracias.
Edición: ¡Gracias a todos por vuestras respuestas!
