El primer dividiendo repunit

Question

Deje $ R(n) = \underbrace{111\ldots111}_{\text n\ ones}$. Probar que si un número primo $ p \neq 3 $ divide $ R(n) $ $ n $ $ p - 1 $ no coprime.

Así que, obviamente,$ R(n) = \frac{10^n - 1}{9}$. Ahora si $ p $ divide $ R(n) $

$$ \frac{10^n - 1}{9} \equiv 0 \pmod p $$

lo que implica

$$ 10^n - 1 \equiv 0 \pmod p $$

$$ 10^n \equiv 1 \pmod p $$

Podemos deducir de allí que $ GCD(n, p - 1) \neq 1 $? Cómo? También, ¿por qué es $ p \neq 3 $ requisito necesario? Supongo que "la multiplicación de ambos lados" $ 9 = 3^2 $ es de alguna manera relevante, pero no estoy seguro de por qué... no es muy difícil llegar con un contraejemplo para $ p = 3 $ de los casos, pero no sé cómo la prueba de cuenta de ello.

Answer 1

El poco uso de Fermat $10^{p-1} \equiv 1\bmod p$

Answer 2

Teorema(1): Deje $m$ $a$ ser de dos enteros; tal que $\gcd(a,m)=1$.
Entonces existe un número natural $r$ tal que $a^{r} \overset{m}{\equiv} 1$.
El menor entero positivo $r$ por encima de la propiedad será llamado el orden de $a$ módulo de $m$;
y vamos a denotar por $\text{ord}_m(a)$.

Teorema(2): Deje $m$ $a$ ser de dos enteros; tal que $\gcd(a,m)=1$.
Supongamos que $a^R \overset{m}{\equiv} 1$; entonces podemos concluir que: $$\text{ord}_m(a) \mid R \ \ .$$

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Comentario(I): Deje $p\neq3$ (también se $p\neq2$$p\neq5$ ) sea un número primo; a continuación,$1 < \text{ord}_p(10)$.
prueba: Supongamos por el contrario que $ \text{ord}_p(10) = 1$; a continuación, debemos tener:
$$ 10^1 \desbordado{p}{\equiv} 1 \Longleftrightarrow p \mediados de 10-1 \Longleftrightarrow p =3; $$ que tiene una evidente contradicción con nuestra hipótesis.

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Comentario(II): Por el pequeño teorema de Fermat sabemos que $$10^{p-1} \overset{p}{\equiv} 1 ;$$ ahora el Teorema(2) implica que $\text{ord}_p(10) \mid p-1$.

Comentario(II): Desde el assuptuion de la pregunta sabemos que $$10^{n} \overset{p}{\equiv} 1 ;$$ ahora el Teorema(2) implica que $\text{ord}_p(10) \mid n$.

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Por los últimos dos observaciones podemos concluir que:

$$1 < \text{ord}_p(10) \mid \text{gcd}(n, p-1).$$