¿Cómo puede $({{n/e})^n} / ({({n/{2e}})^n})$ simplificar a $2^n$ (MIT OpenCourseware 6.006)

Question

Como se indica en el título, ¿cómo se realiza la siguiente simplificación? $$\frac{\left(\frac{n}{e}\right)^n}{\left(\frac{n}{2e}\right)^n}=2^n$$

Así lo demostró un alumno en este Vídeo de recitación (29:05) de MIT OpenCourseware.

Answer 1

$$\frac{\left(\frac{n}{e}\right)^n}{\left(\frac{n}{2e}\right)^n} = \frac{n^n (2e)^n}{e^nn^n}$$ por $\frac{a/b}{c/d} = \frac{ad}{bc}$ .

Evidentemente, el $n^n$ los términos se anulan, y $(2e)^n = 2^ne^n$ . Entonces, el $e^n$ términos cancelar.

Answer 2

Utiliza las reglas:

$$\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}$$

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

$$ (ab)^n = a^n b^n$$

A ver si descubres cómo se simplifica.

Answer 3

$$\frac{\left(\frac{n}{e}\right)^n}{\left(\frac{n}{2e}\right)^n} =\frac{\left(\frac{n}{e}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n\left(\frac{n}{e}\right)^n} =\frac{1}{1/2^n}=2^n$$