Tensor de Productos y una Base de $\Bbb R^2 ⊗ \Bbb R^2$

Question

Deje ${e_1, e_2}$ ser el estándar de la base de $\Bbb R^2$. Mostrar que $e_1⊗e_2+e_2⊗e_1$ no puede ser escrita en la forma$u ⊗ v$$u,v \in \Bbb R^2$.

Sólo estoy siendo introducido para el tensor de espacios y sé que

$e_1⊗e_1,e_1⊗e_2,e_2⊗e_1,e_2⊗e_2$ es una base de $\Bbb R^2 ⊗ \Bbb R^2$ pero no estoy seguro de cómo mostrar una contradicción. Cualquier sugerencias apreciado.

Edit: también sé que $e_1⊗e_2+e_2⊗e_1 = (e_1+e_2⊗e_1+e_2) - e_1⊗e_1 - e_2⊗e_2$

Answer 1

Es útil tener en cuenta que el mapa de $u \otimes v \mapsto uv^T$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Ahora, la pregunta es la siguiente: ¿por qué existe el no $u$ $v$ tal que $$ uv^T = \pmatrix{0&1\\1&0}? $$ pensar en términos de que el rango de una matriz.

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O, si usted prefiere anomalía del enfoque: tenga en cuenta que $$ u \otimes v = (u_1v_1) e_1 \otimes e_1 + (u_1v_2) e_1 \otimes e_2 + (u_2v_1) e_2 \otimes e_1 + (u_2v_2) e_2 \otimes e_2 $$ Ahora, es suficiente para mostrar que el sistema de $$ u_1v_1 = 0\\ u_1v_2 = 1\\ u_2 v_1 = 1\\ u_2 v_2 = 0 $$ no tiene soluciones para $u_1,u_2,v_1,v_2 \in \Bbb R$.

Answer 2

Suponga que $e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1 = u \otimes v$ y escribir

$$ u = u_1 e_1 + u_2 e_2, \,\,\, v = v_1 e_1 + v_2 e_2. $$

La expansión de $u \otimes v$, tenemos

$$ u \otimes v = (u_1 e_1 + u_2 e_2) \otimes (v_1 e_1 + v_2 e_2) = \\ (u_1 v_1) (e_1 \otimes e_1) + (u_1 v_2) (e_1 \otimes e_2) + (u_2 v_1) (e_2 \otimes e_1) + (u_2 v_2) (e_2 \otimes e_2) = \\ 1 \cdot (e_1 \otimes e_2) + 1 \cdot (e_2 \otimes e_1). $$

Desde $e_i \otimes e_j$ es una base de $\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$, debemos tener

$$ u_2 v_2 = u_1 v_1 = 0, \,\,\, u_1 v_2 = u_2 v_1 = 1. $$

Mostrar que esto lleva a una contradicción.

Answer 3

Imagina que $e_1 \otimes e_2 + e_1 \otimes e_2 = u \otimes v$. Si $u = u_1 e_1 + u_2 e_2$$v = v_1 e_1 + v_2 e_2$, luego

$$e_1 \otimes e_2 + e_1 \otimes e_2 = (u_1 e_1 + u_2 e_2) \otimes (v_1 e_1 + v_2 e_2) = \\ u_1 v_1 \ e_1 \otimes e_1 + u_1 v_2 \ e_1 \otimes e_2 + u_2 v_1 \ e_2 \otimes e_1 + u_2 v_2 \ e_2 \otimes e_2$$

lo que significa que

$$0 = u_1 v_1, \quad 1 = u_1 v_2, \quad 1 = u_2 v_1, \quad 0 = u_2 v_2 .$$

El hecho de que $0 = u_1 v_1$ implica que cualquiera de las $u_1 = 0$ o $v_1 = 0$. Si $u_1 = 0$, la igualdad de $1 = u_1 v_2$ se convierte en imposible, si $v_1 = 0$, la igualdad de $1 = u_2 v_1$ se convierte en imposible. En cualquiera de los casos se obtiene una contradicción, por lo tanto no existe $u$ $v$ tal que $e_1 \otimes e_2 + e_1 \otimes e_2 = u \otimes v$.