Una característica bien conocida de la armónica de las funciones (dominios de) $\mathbb{R}^n$ es la media del valor de la propiedad: es decir, si $\Delta u = 0$, luego $$ u(x_0) = \frac{1}{\text{Vol}(\partial B_r(x_0))}\int_{\partial B_r(x_0)}{u\,dS} = \frac{1}{\text{Vol}(B_r(x_0))}\int_{B_r(x_0)}{u\,dV}. $$ Es la misma verdad en colectores en general? Es decir, dado un colector $(M,g)$ y una función suave $u:M\rightarrow\mathbb{R}$ satisfactorio $$\Delta_gu = 0\quad\text{where}\quad\Delta_g = \frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial}{\partial x^i}g^{ij}\sqrt{\det g}\frac{\partial}{\partial x^j},$$ es cierto que $$ u(x_0) = \frac{1}{\text{Vol}(\partial B_r(x_0))}\int_{\partial B_r(x_0)}{u\,dS}\quad\text{or}\quad u(x_0) = \frac{1}{\text{Vol}(B_r(x_0))}\int_{B_r(x_0)}{u\,dV}?$$ Aquí, $B_r(x_0)$ es la geodésica de la bola de radio $r$$x_0$. Si la igualdad no se sostienen, cómo sería el valor medio (ya sea a través de una esfera o a través de una pelota de cambio con $r$? Por ejemplo, en una superficie de la curvatura de Gauss aparece en el mayor orden de los términos en la expansión de Taylor de la longitud/área de un círculo/bola de radio $r$--¿ un fenómeno similar se producen por el valor de la media?
Respuesta
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Después de hacer una rápida búsqueda en Google me encontré con este post en el blog: https://cuhkmath.wordpress.com/2015/08/14/mean-value-theorems-for-harmonic-functions-on-riemannian-manifolds/
Los puntos principales de este artículo son de la siguiente manera:
El valor medio de la propiedad de la armónica de funciones tiene en una arbitraria colector $M$ sólo cuando para cada punto de $p\in M$ cada esfera geodésica cerca de $p$ tiene curvatura media constante. Dichos colectores se llama armónico de los colectores. Esto coincide con la intuición que tenía en mis comentarios anteriores.
Para cualquier función suave $u$ $n$- colector $(M,g)$ sostiene que $$\frac{1}{\mathrm{vol}(\partial B_r(p)}\int_{\partial B_r(p)}u(y)~d\sigma(y)=u(p)+\frac{\Delta u(p)}{2n}r^2 + \mathscr{O}(r^4).$$ El $\mathscr{O}(r^4)$ plazo está dado por $B(n)r^4 + \mathscr{O}(r^6)$ donde $$B(n):=\frac{1}{24(n+2)}\left(3\Delta^2u - 2\langle\nabla^2 u,\rho\rangle-3\langle\nabla u,\nabla\tau\rangle + \frac{4}{n}\tau\Delta u\right).$$ En la de arriba $\rho(x,y)=\mathrm{tr}\left(R(\cdot,x,y,\cdot)\right)$, $R$ es la curvatura de Riemann tensor, y $\tau=\mathrm{tr}(\rho)$.
Tenemos un similar valor medio de la propiedad para geodésico de bolas. Para cualquier función suave $u$ sostiene que $$\frac{1}{\mathrm{vol}(B_r(p))}\int_{B_r(p)}u(y)~d\mu(y)=u(p) + \frac{\Delta u(p)}{2(n+2)}r^2 + B(n+2)r^4 + \mathscr{O}(r^6).$$
Similares sub-valor medio de las propiedades de los subarmónicos funciones de los límites fijados en la Ricci y curvatura de Riemann.
El blog ofrece un montón de referencias y pruebas (que parece ser correcto, pero no he tenido el tiempo para trabajar a través de ellos todavía).
