Dado un campo $\mathbb{F}$, lo $\text{Aut}(\mathbb{F}^{\ast})$?

Question

Hay muchos bien conocidos los problemas y los resultados relativos a automorphism grupos de campos. Por ejemplo, es bien conocido que la automorphism grupo de cada campo en $\{ \mathbb{Q}, \mathbb{F}_{p}, \mathbb{R} \}$ es trivial, y es bien sabido que el (conocida) construcciones de los 'salvajes' automorfismos del campo $\mathbb{C}$ requiere el axioma de elección (o el lema de Zorn).

Por ello, parece natural considerar el 'más fácil' problema de la evaluación del grupo de $\text{Aut}(\mathbb{F}^{\ast})$ de grupo de automorfismos de la base del grupo multiplicativo $\mathbb{F}^{\ast}$$\mathbb{F}$.

Está claro que el problema de la evaluación de $\text{Aut}(\mathbb{F}_{p}^{\ast})$ reduce a la cerrada problema de la evaluación de la automorphism grupo de un número finito de abelian grupo (ver Automorfismos de Finito Abelian Grupos), y es claro que la evaluación de $\text{Aut}(\mathbb{Q}^{\ast})$ se reduce al problema de la evaluación del grupo de grupo de automorfismos de a $C_{2} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \cdots$ (ver a este respecto). Parece, pues, natural preguntar:

(1) ¿Qué es $\text{Aut}\left(\mathbb{R}^{\ast}\right)$?

(2) ¿Qué es $\text{Aut}\left(\mathbb{C}^{\ast}\right)$?

(3) ¿Qué es $\text{Aut}\left(\mathbb{C}(t)^{\ast}\right)$?

(4) ¿Qué es $\text{Aut}\left(\mathbb{Q}_{p}^{\ast}\right)$ donde $\mathbb{Q}_{p}$ denota el campo de la $p$-ádico números?

(5) Más en general, dado un campo $\mathbb{F}$, hay una forma conocida de la evaluación de $\mathbb{F}^{\ast}$?

Answer 1

Antes de preguntar cuál es el automorphism grupos de estos grupos es probablemente una buena idea para saber lo que estos mismos grupos. Esto no es tan malo:

1. $\mathbb{R}^{\times} \cong C_2 \oplus \mathbb{R}$. Esto viene de que al mirar el mapa exponencial de$\mathbb{R}$: $C_2$ factor es $\pm 1$.

2. $\mathbb{C}^{\times} \cong S^1 \oplus \mathbb{R}$. Esto viene de que al mirar el mapa exponencial de $\mathbb{C}$.

3. $\mathbb{C}(t)^{\times} \cong S^1 \oplus \mathbb{R} \oplus \bigoplus_{\mathbb{C}} \mathbb{Z}$. Esto viene de mirar en términos constantes + factorización única.

4. $\mathbb{Q}_p^{\times} \cong C_{p-1} \oplus \mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}$. El último término es la de los poderes de $p$, el primer término que está buscando en términos constantes, y el segundo término proviene de la "exponencial" mapa de $n \mapsto (1 + p)^n$$\mathbb{Z}_p$.

Todos estos grupos tienen la propiedad agradable que se separaron como una suma directa de de torsión torsión y libre de las partes (a pesar de que no necesariamente es la descomposición escribí más arriba). Cada vez que un grupo abelian $A \cong T \oplus F$ tiene esta propiedad, podemos escribir su automorphism grupo en forma matricial como

$$\text{Aut}(A) \cong \text{Aut}(T \oplus F) \cong \left[ \begin{array}{cc} \text{Aut}(T) & \text{Hom}(F, T) \\ 0 & \text{Aut}(F) \end{array} \right].$$

El punto es que no puede haber ninguna que no sea trivial homomorphisms $T \to F$, por lo que cada endomorfismo tiene esta forma triangular superior, y entonces es una automorphism iff su diagonal componentes. Esto funciona más general, siempre podemos escribir un abelian grupo como una suma directa de dos grupos uno de los cuales admite no trivial homomorphisms a la otra. Ahora vamos a calcular automorphism grupos.

A continuación va a ser muy conveniente para escribir $I$ para denotar el conjunto de índices de una base de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial (necesitamos de CA para esto). Ocasionalmente voy a pretender que esto es también una base de algo como $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}/\mathbb{Q}$ desde entonces (suponiendo AC) estos tienen la misma dimensión.

1. $\text{Aut}(C_2)$ es trivial, y no hay ningún homomorphisms $\mathbb{R} \to C_2$, con lo que conseguimos $\text{Aut}(\mathbb{R})$, el grupo de automorfismos de un sinnúmero de dimensiones $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. Suponiendo CA esto es algo de enorme grupo de $GL_I(\mathbb{Q})$ de las matrices de más de $\mathbb{Q}$.

2. Escribir $\mathbb{R} \cong \mathbb{Q} \oplus \mathbb{R}/\mathbb{Q}$ (ambos están a sólo $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales). La aplicación de la exponencial $\exp (ix)$ da $S^1 \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \oplus \mathbb{R}/\mathbb{Q}$, lo $\mathbb{C}^{\times}$$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, además de otras innumerables dimensiones $\mathbb{Q}$-espacio vectorial que voy a pretender es isomorfo a $\mathbb{R}$ para facilitar la notación, aunque necesito AC para esto. $\text{Aut}(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ resulta ser el grupo de unidades de la profinite enteros $\widehat{\mathbb{Z}}^{\times} \cong \prod_p \mathbb{Z}_p^{\times}$, y hay un montón de homomorphisms de una $\mathbb{Q}$-espacio vectorial a $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. En total tenemos

$$\left[ \begin{array}{cc} \widehat{\mathbb{Z}}^{\times} & \prod_I \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ 0 & GL_I(\mathbb{Q}) \end{array} \right].$$

3. Ahora además de los problemas que surgieron en 2 también tenemos que averiguar la automorphism grupo de $\mathbb{R}$, además de una cantidad no numerable de copias de $\mathbb{Z}$. No hay ninguna que no sea trivial homomorphisms de $\mathbb{R}$ para cualquier cantidad de copias de $\mathbb{Z}$, por lo que esta nuevo tiene una forma triangular superior, involucrando $\text{Aut}(\mathbb{R})$ (grandes matrices de más de $\mathbb{Q}$), $\text{Aut}(\bigoplus_{\mathbb{C}} \mathbb{Z})$ (grandes matrices de más de $\mathbb{Z})$, y homomorphisms de$\bigoplus_{\mathbb{C}} \mathbb{Z}$$\mathbb{R}$, de los cuales hay muchos. En total tenemos

$$\left[ \begin{array}{cc} \widehat{\mathbb{Z}}^{\times} & \prod_I \mathbb{Q}/\mathbb{Z} & \prod_{\mathbb{C}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ 0 & GL_I(\mathbb{Q}) & \prod_{\mathbb{C}} \mathbb{R} \\ 0 & 0 & GL_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) \end{array} \right]$$

4. Ahora tenemos que averiguar la automorphism grupo de $\mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}$. En este punto tengo que confesar: yo no sé lo que es esto. Yo sé lo que los automorfismos de a $\mathbb{Z}_p$ son como un profinite grupo, pero no como un resumen de grupo. Y yo no sé cuál es la homomorphisms $\mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}$, de nuevo como resumen de los grupos, son.