Producto de subgrupos H,K - ¿HKH=KHK si HKH es un subgrupo?

Question

Supongamos $H,K$ son subgrupos de un grupo de $G$ tal que $HKH$ es un subgrupo de $G$. Entonces es cierto que $KHK=HKH$?

Answer 1

Un contraejemplo es $G=A_4$ con $|H|=3$, $|K|=2$, $HKH=G$, $|KHK|=10$.

Más en general, vamos a $G$ cualquier ser finito () $2$- transitiva grupo, $H$ un punto de estabilizador y $K$ orden $2$$K \not\subseteq H$. A continuación, $HKH=G$ pero, si el grado es de al menos $5$,$|KHK| \le 4|H| < |G|$.