Demostrar que $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ donde $m < 0$ y $n > 0$

Question

Prof. Pinter "Un Libro de Álgebra Abstracta" presenta este ejercicio:

Deje $G$ ser un grupo y $a\in G$

Demostrar que $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ donde $m < 0$ $n > 0$

Para demostrar $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ donde$m < 0$$n > 0$, simplemente me escribió:

$$a^{-m}a^{n} = a^{-1} ... a^{1}...$$ where $...$ indicates the value of $m$ and $$ n, respectivamente.

Puesto que el $a^{-1}$ va a cancelar con la $a^{1}$ desde $a^{-1}a^{1}=\epsilon$, entonces a mí me parece que $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ donde$m < 0$$n > 0$.

Esto no parece ser lo suficientemente técnica a ser una prueba. Por favor, dime que es suficiente.

Answer 1

En primer lugar mostrar que $a^m = (a^{-1})^{-m}$ $m

$-m>0$, $a^{-1}a^n = a^{n-1}$, Por una inducción similar tenemos $$a^ma^n = (a^{-1})^{-m}a^n = a^{n-(-m)}=a^{n+m}. $ $

Answer 2

Vamos a demostrar que para cualquier $m$ y $n\ge0$ por inducción en $n$. La afirmación es obvia para $n=0$. Así asume tiene $n$: $$ una ^ ma ^ {n+1} = un ^ m(a^na) = (un ^ ma ^ n) un = un ^ {m + n} un $$ ahora estamos reducidos para demostrar que, para cualquier $k$, $a^ka=a^{k+1}$.

Esto es cierto para $k\ge0$, por la definición de competencias, asume así $k