Encontrar el número máximo de $x\in\mathbb R$ tal que $a^x+b=\lfloor x\rfloor.$

Question

Pregunta : Dejar $a\gt 1, b\in\mathbb R$ , como máximo ¿cuántas soluciones de números reales tiene la siguiente ecuación?

$$a^x+b=\lfloor x\rfloor.$$ Aquí, $\lfloor x\rfloor$ es el mayor número entero no mayor que $x$ .

Motivación : He conocido la siguiente pregunta :

Dejar $c,d\in\mathbb R$ ¿cuántas soluciones de números reales tiene como máximo la siguiente ecuación?

$$x^2+cx+d=\lfloor x\rfloor.$$

Podemos demostrar que la respuesta es $4$ . Por ejemplo, $x^2-\frac{6}{5}x+\frac{3}{10}=\lfloor x\rfloor$ tiene $4$ soluciones de números reales. Esta pregunta hizo que me interesara por considerar cuestiones similares.

Tengo eso ${1.36}^x-0.4=\lfloor x\rfloor$ tiene $6$ soluciones de números reales (véase aquí ). Sin embargo, no puedo encontrar ningún par mejor $(a,b)$ ni demostrar que la respuesta es $6$ . ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

$$ 1.05^x + 40.45 =\lfloor x\rfloor $$ tiene 12 soluciones, como se puede ver en el siguiente gráfico de $1.05^x + 40.45-\lfloor x\rfloor$ :

Mi impresión es que como $a\to1$ eligiendo adecuadamente $b$ (con $b\to\infty$ como $a\to1$ ) la ecuación puede tener cualquier número de soluciones. Puede que intente demostrarlo en algún momento en el futuro.

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Teorema . Para cualquier $N\in\mathbb{N}$ existe $a>1$ y $b>0$ tal que la ecuación $$ a^x+b=\lfloor x\rfloor $$ tiene al menos $N$ soluciones.

Prueba . Para simplificar la notación, dejemos que $a=e^{\alpha}$ , $\alpha>0$ . Definir las funciones $$ \phi(x)=e^{\alpha x}+b-\lfloor x\rfloor,\qquad \psi(x)=e^{\alpha x}+b- x. $$ Entonces $$ \phi(x)=\psi(x)+\{x\},\qquad \psi(x)\le\phi(x)\le\psi(x)+1. $$ La función $\psi$ es estrictamente convexo y $\lim_{x\to\pm\infty}\psi(x)=+\infty$ . Tiene un mínimo único, alcanzado en $x=-\ln\alpha/\alpha$ cuyo valor es $b+(1+\ln\alpha)/\alpha$ . Elija $b=-(1+\ln\alpha)/\alpha-1$ . Entonces el valor mínimo de $\psi$ es -1. La ecuación $\psi(x)=0$ tiene dos raíces $x_1$ , $x_2$ tal que $$ x_1<-\frac{\ln\alpha}{\alpha}<x_2. $$ Es fácil ver que en cualquier intervalo de longitud $1$ contenida en $[\,x_1,x_2\,]$ existe una solución de la ecuación $\phi(x)=0$ . De ello se deduce que hay al menos $\lfloor x_2-x_1\rfloor$ soluciones de $\phi(x)=0$ .

Basta con demostrar que $\lim_{\alpha\to0}x_2-x_1=\infty$ . El cambio de variable $x=t-\ln\alpha/\alpha$ transforma la ecuación $\phi(x)=0$ en $$ \frac{e^{\alpha t}-1}{\alpha}-t-1=0. $$ Si $t<0$ entonces $$ \frac{e^{\alpha t}-1}{\alpha}< t+\frac{\alpha\,t^2}{2}, $$ lo que implica que $$ x_1<-\sqrt{\frac{2}{\alpha}}. $$