En el clásico de la geometría algebraica, supongamos $I$ es una reducción homogénea ideal en $k[x_0,\cdots,x_n]$ donde $k$ es algebraicamente cerrado de campo, a continuación, $I$ se corta una variedad proyectiva $X$, cuya Hilbert función está definida por \begin{equation} \phi(m)=\text{dim}_k~ (k[x_0,\cdots,x_n]/I)_m \end{equation} donde $()_m$ $m$- th parte homogénea del cociente del anillo. Al $m$ es grande, existe un polinomio $p_X$ tal que \begin{equation} \phi(m)=p_X(m) \end{equation} $p_X$ es el polinomio de Hilbert. Sin embargo, en el esquema del mundo, de la sección 18.6 de Ravi Vakil del libro, la de Hilbert función de un esquema proyectivo $X \hookrightarrow \mathbb{P}^n$ está definido por \begin{equation} \phi(m)=h^0(X,\mathcal{O}(m)) \end{equation} Al $m$ es grande, existe un polinomio $p_X$ tal que \begin{equation} \phi(m)=\chi(X,\mathcal{O}(m))=p_X(m) \end{equation} Son las dos definiciones de Hilbert de las funciones de la misma? Supongo que hay problemas con el reducedness, alguien podría dar una explicación general?
Respuesta
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Mira el graduado $k$-álgebra $A=k[x_0,\ldots,x_n]/I$. El graduado de $k$-álgebra surjection $k[x_0,\ldots,x_n]\to A$ rendimientos cerrado $k$-inmersión $j:X=\mathrm{Proj}(A)\hookrightarrow\mathbf{P}_k^n$ imagen $V_+(I)$. La función de Hilbert $p_X$ $X$ en relación a lo cerrado de la inmersión de la $j$ (es decir, a la muy amplio invertible gavilla $\mathscr{O}_X(1)=j^*(\mathscr{O}_{\mathbf{P}_k^n}(1))$ está dado por $p_X(m)=\dim_k(H^0(X,\mathscr{O}_X(m)))$$m\gg 0$, es decir, es la de Hilbert función de la finitely generadas $k[x_0,\ldots,x_n]$-módulo de $\bigoplus_{m\geq 0}H^0(X,\mathscr{O}_X(m))=\bigoplus_{m\geq 0}H^0(\mathbf{P}_k^n,(j_*(\mathscr{O}_X))(m))$. Hay un canónica graduales $k$-álgebra de mapa de $A/I\to\bigoplus_{m\geq 0}H^0(X,\mathscr{O}_X(m))$ y es un isomorfismo lo suficientemente amplia grado (ver http://stacks.math.columbia.edu/tag/0AG7). Por lo tanto la de Hilbert de las funciones de acuerdo para suficientemente grande $m$, por lo que el Hilbert polinomios coinciden.
