Es el compuesto de la función integrable？

Question

Deje $f$ ser una de Riemann integrable función definida en$[a,b]$ y deje $g$ ser una función derivable con continua en $[c,d]$.Si el rango de $g$ está contenido en $[a,b]$ $f \circ g$ Riemann integrable en$[c,d]$？

Si $g^{'}$ es no-cero en$[c,d]$,entonces la respuesta es positiva.Ir un paso más allá ,vamos a eliminar esta condición (como se mencionó anteriormente),si va a llegar a la misma conclusión？

Answer 1

Deje $f\colon [-1,1]\to \Bbb R$ ser definido por $f(x)=-1$ si $x\le0$ $f(x)=1$ si $x> 0$.

Ahora vamos a $g\colon [0,1]\to \Bbb R_+ \cup \{0\}$ ser una función suave que se desvanece en un conjunto de cantor $C$ con medida positiva.

Desde conjuntos de Cantor es para nada denso $f\circ g$ puede no ser continua en $C$, pero Riemann integrable funciones tienen que ser continua en casi todas partes.