Demostrar que una función es continua para todos los números reales

Question

Esta es una pregunta de deberes:

Prueba $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5$ es continua para todos los números reales.

¿Qué técnica de prueba debo utilizar para ello? Realmente no sé por dónde empezar.

Answer 1

Sugerencia: Si $f$ y $g$ son continuos, entonces también lo son $f + g, f - g, f \cdot g, f / g$ (la última proporcionó $g$ no es igual a $0$ ).

Answer 2

Todo polinomio es localmente Lipschitz. Más explícitamente, tomemos su ejemplo $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5$ . Entonces $$ |f(x)-f(x_0)| = |(x-x_0) 2(x^2+x_0 x+x_0^2) - (x-x_0)4(x+x_0)| \le |x-x_0| L $$ para un valor adecuado de $L$ obtenido mediante el uso de $|x|<|x_0|+\delta$ y la desigualdad del triángulo. A continuación, se puede tomar $\delta=\varepsilon/L$ .

En general, utilice ese $x^n-x_0^n= (x-x_0)(x^{n-1}+x_0 x^{n-2} + \cdots + x_0^{n-2}x+x_0^{n-1})$ al factor $x-x_0$ de $f(x)-f(x_0)$ .

Answer 3

Si sabes demostrar que la función identidad $f(x) = x$ es continua, entonces por el álgebra de las funciones continuas se tiene todo polinomio continuo ya que son sólo combinaciones lineales de funciones potencia es decir $x^n$ . Si tenemos $f(x)=x$ continua, entonces por el álgebra de funciones continuas $f\cdot f$ es continua y da lugar a $x^n$ continua para cualquier $n\in \mathbb{N}$

Para mostrar $f(x) = x$ es continua considere

$$|f(x_0)- f(x)|=|x_0-x|< \epsilon.$$

Por lo tanto, la elección de $\delta := \epsilon$ da la continuidad de cualquier función polinómica.

Answer 4

Como $f(x)=2x34x2+5$ es una función polinómica, es continua en todo número real (es un teorema).