Cuántos triángulos diferentes puede ser inscrito dentro de un regular decagon tal que el triángulo de las acciones de sus vértices con los vértices de la decagon, pero el triángulo de las acciones de ninguno de sus lados?
Aquí está un ejemplo de lo que es permitido y lo no permitido:
He considerado '10 elija 3', pero la idea de que los lados del triángulo no puede compartir sus caras con los lados de la decagon, esto no puede ser correcto. ¿O sí?
Hay $\binom{10}{3}$ opciones para el triángulo sin restricciones. Ahora, cada triángulo en los $\binom{10}{3}$ acciones $0,1$ o $2$ lados con la decagon.
Puede usted contar triángulos compartir exactamente un borde, con el decagon?
¿Qué acerca de los triángulos compartir dos bordes con el decagon?
Editar:
Hay $\binom{10}{3} = 120$ triángulos. Restamos a cabo los triángulos compartiendo uno o dos bordes con el decagon (triángulo no puede compartir los tres bordes).
Triángulos con un borde compartido Elegir que el borde es la compartida ($10$ opciones), luego tenemos a $2$ de los vértices del triángulo dado, así que tenemos uno más. Usted no puede recoger cualquier vértice en o adyacente al borde (como entonces el triángulo gustaría compartir dos bordes con el decagon), por lo que hay $10-4 = 6$ opciones por el borde. Eso significa que hay un $60$ triángulos que comparten un solo filo con la decagon.
Triángulos con dos bordes compartidos - Seleccione el vértice de incidentes en los dos bordes compartidos ($10$ opciones). Ahora tenemos los tres vértices del triángulo, así que todo lo demás es forzado. Eso significa que hay un $10$ triángulos que comparten dos bordes con el decagon.
Poniendo todo junto, hay $120 - 60 - 10 = 50$ triángulos en la decagon que no comparten los bordes con la decagon.
Revisado: desea Que el número de maneras de elegir a $3$ de la $10$ vértices de tal manera que no hay dos de los elegidos vértices son adyacentes. Gire el problema de todo. Llamar a los elegidos de los vértices $A,B$, e $C$ en orden de las agujas del reloj, y ver cómo los otros siete vértices de la decagon puede ser distribuido entre ellos si debe haber al menos uno en cada una de las brechas (entre $A$$B$, entre el$B$$C$, y entre el$C$$A$). Hay cuatro casos.
Si una brecha contiene $5$ vértices, cada una de las otras lagunas que debe contener un vértice. El triángulo es isósceles; si $A$ es el vértice sobre su eje de simetría, $A$ puede ser cualquiera de las $10$ vértices de la decagon, por lo que hay $10$ triángulos.
Si una brecha contiene $4$ vértices, una de las otras lagunas que debe contener dos vértices, y el otro debe contener sólo uno. La lectura de las agujas del reloj, comenzando con la brecha más grande, las lagunas pueden aparecer en el orden en el $4,2,1$ o en el orden de $4,1,2$, y cada una de estas órdenes pueden aparecer en cualquiera de $10$ posiciones alrededor de la decagon, por lo que hay $20$ triángulos en total.
Dos lagunas contienen $3$ vértices de cada uno, y uno solo contiene una; esto es como el primer caso.
Una brecha contiene $3$ vértices, y los otros, contienen dos vértices de cada uno; esto es, también, como el primer caso.
El total es, por tanto, $10+20+10+10=50$ triángulos.
Gracias a Michael Biro para la captura de la overcounting en la solución original.
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