Computación $\lim\limits_{n\to\infty}\int_X ~{\left\{\cos\left(\pi f(x)\right) \right\}}^{2n}~\text{d}\mu(x)$

Question

Deje $(X,M,\mu)$ ser un número finito de medir el espacio y deje $f$ ser un valor real y medible de la función en $X$. ¿Cómo puedo evaluar $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_X ~{\left\{\cos\left(\pi f(x)\right) \right\}}^{2n}~\text{d}\mu(x)$$ in terms of $f$?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Poner $f_n(x)=\left\{\cos (\pi f(x))\right\}^{2n}$. A continuación, la secuencia $\{f_n\}$ está disminuyendo, y $0\leq f_1\leq 1$, que es integrable. Por lo tanto podemos aplicar la versión invertida de la monotonía teorema de convergencia, lo que da $$\lim_{n\to\infty}\int_X f_n(x)d\mu(x)=\int_X \lim_{n\to\infty}f_n(x)d\mu(x).$$ Desde $\left\{\cos(\pi f(x))\right\}^2=1$ si $f(x)\in\mathbb Z$, e $\left\{\cos(\pi f(x))\right\}^2<1$ lo contrario, tenemos $$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases}1&\mbox{if }f(x)\in\mathbb Z\\ 0&\mbox{otherwise},\end{casos}$$

así $$\lim_{n\to +\infty}\int_X\left\{\cos (\pi f(x))\right\}^{2n}d\mu(x)=\int_X\mathbf 1_{\left\{f(x)\in\mathbb Z\right\}}d\mu(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}\mu(\left\{x\in X,f(x)=k\right\}).$$