Cada colector es paracompact. He intentado:
$M$ $n$--colector abierto que cubre $U_\alpha$ $\varphi_\alpha$ local homeomorphisms; $\varphi_\alpha (U_\alpha)$ están abiertas en $\mathbb R^n$. La adición de $B(x, \varepsilon)$ $x \in (\bigcup_\alpha \varphi_\alpha (U_\alpha))^c$ rendimientos abierta cubriendo de $\mathbb R^n$. $\mathbb R^n$ es paracompact por lo tanto, no es un refinamiento $V_\alpha$. Descartamos $V_\alpha \subseteq B(x,\varepsilon)$ y observar que $\varphi_\alpha^{-1}(V_\alpha)$ son un refinamiento de la $U_\alpha$. Fix$p \in M$$\alpha_0$$p \in U_{\alpha_0}$. Entonces existe un abierto nbhd $N$ $\varphi_{\alpha_0} (p)$ tal que $N$ cruza sólo un número finito de $V_\alpha$. Deje $N' = \varphi_{\alpha_0}^{-1}(N \cap \varphi_{\alpha_0} (U_{\alpha_0}))$. A continuación, $N'$ es una nbhd de $p$.
Mi intención final era "$N'$ sólo se cruza con un número finito de $\varphi_\alpha^{-1}(V_\alpha)$". Por desgracia, parece que uno no puede argumentar desde que se $\varphi_\alpha$ $\varphi_{\alpha_0}$ mapa de $\varphi_\alpha^{-1}(V_\alpha)$ a diferentes conjuntos. Cómo salvar la prueba? Gracias.
