Condición suficiente para que las aplicaciones abiertas $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sean continuas

Question

En este problema, nos preocupamos estrictamente con funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Supongamos que

$(\text{i})$ $\ f$ es abierta.

$(\text{ii})$ $\ f$ es inyectiva.

¿Se deduce que $f$ es continua?

Si es así, ¿qué sucede si cambiamos la condición a localmente inyectiva (una función es localmente inyectiva si para todo $x_0 \in \mathbb{R}$ hay un entorno $N_{{x_0}}$ de $x_0$ tal que la restricción $f|_{N_{{x_0}}}$ es inyectiva)?

Sé que para $f$ continua, $f$ abierta implica $f$ inyectiva (esto es "algo así" como la posición contraria).

También sé que hay mapeos abiertos discontinuos, pero estos suelen ser muy difíciles de tratar, así que dudo que haya ejemplos inyectivos o incluso localmente inyectivos.

Answer 1

Sí. Dado que $f$ es abierta e inyectiva, $f^{-1}$ es una mapa continuo inyectivo de $f(\mathbb{R})$ (que es un conjunto abierto) en $\mathbb R$. Un teorema clásico de Análisis Real dice que la inversa de tal mapa (es decir, $f$) también es continua.