De raíz

Question

¿Sabes pruebas o referencias para la siguiente desigualdad:

Existe una constante positiva $C>0$ tal que para cualesquiera números complejos $a_1,\ldots,a_n$

$$ |a_1|+\cdots+|a_n| \leq C\sup_{z_1^3=1,\ldots,z_n^3=1 } |a_1z_1+\cdots + a_n z_n| $$ donde el supremum es tomado a través de los números complejos $z_1,\ldots,z_n$ tal que $z_1^3=1,\ldots,z_n^3=1$?

Answer 1

La estrategia consiste en hacer girar el $a$ valores para que sean aproximadamente apuntando en la misma dirección. Más formalmente, para cada complejo de $a$ elegir un tercio de la raíz de la unidad $z$, por lo que que el argumento de $\theta $ $az$ se encuentra entre los más y menos $\pi/3$.

Entonces \begin{eqnarray*} |a_1z_1+\cdots +a_nz_n|&\geq&|\mbox{Re}(a_1z_1+\cdots +a_nz_n)| \cr &=&|a_1z_1|\cos(\theta_1)+\cdots +|a_nz_n|\cos(\theta_n) \cr &\geq &(|a_1|+\cdots +|a_n|)\cos(\pi/3)\cr &=&{1\over 2}\ (|a_1|+\cdots +|a_n|)\cr \end{eqnarray*}

Esto le da a su resultado con $C=2$.

Answer 2

Observe que la asignación de $\|\cdot\|_* \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{R}$ dada por $$\|(a_1,\dots,a_n)\|_* = \sup_{z_1^3=z_2^3=\dots=1} |a_1z_1 + \dots + a_n z_n|$$ define una norma. El resultado entonces de la siguiente manera por la equivalencia de las normas en lo finito dimensional espacios vectoriales.

El triángulo de la desigualdad se ve fácilmente para ser verdad: Sólo tiene que utilizar el ordinario del triángulo de la desigualdad. Para probar que si $\|(a_1,\dots,a_n)\|_* = 0$ $(a_1,\dots,a_n) = 0$ aviso de que si una de las coordenadas (vamos a decir $a_1$) no $0$, entonces no sería de tres números diferentes: $a_1 z_1 + a_2 + \dots + a_n$, $a_1 z_2 + a_2 + \dots + a_n$ y $a_1 z_3 + a_2 + \dots + a_n$ uno de los cuales no es cero y por lo tanto el sup tenemos iba a ser distinto de cero también.